C++ 为bezier曲线中的每个点绘制切线

我画了一条贝塞尔曲线，如：

glColor3f(0,1,0);
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 3; i < nPt; i+=3) {
    glColor3f(0,0,0);
    for (float k = 0; k < NLINESEGMENT+1; k++) {
        float x = pow(1.0-k/NLINESEGMENT,3)*ptList[i-3].x +
            3*(k/NLINESEGMENT)*pow(1.0-k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-2].x +
            3*(1.0-k/NLINESEGMENT)*pow(k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-1].x +
            pow(k/NLINESEGMENT, 3)*ptList[i].x;
        float y = pow(1.0-k/NLINESEGMENT,3)*ptList[i-3].y +
            3*(k/NLINESEGMENT)*pow(1.0-k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-2].y +
            3*(1.0-k/NLINESEGMENT)*pow(k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-1].y +
            pow(k/NLINESEGMENT, 3)*ptList[i].y;
        glVertex2d(x,y);
    }
}
glEnd();

glColor3f（0,1,0）；
glBegin（GL_线_带）；
对于（int i=3；i

现在我想为每个点添加相切箭头，如何才能做到这一点？我得到了一个绘制箭头的函数。所以我认为我需要旋转参考坐标系并画出箭头。但是如何计算旋转呢？我想我需要对方程进行微分，但问题仍然存在，我如何使用它

更新

每放置第四个点，就会绘制一条曲线

我应该做到以下几点

更新2

好的，我尝试画切线，如：

glColor3f(0,1,0);
for (int i = 3; i < nPt; i+=3) {
    for (int n = 0; n < NOBJECTONCURVE; n++) {
        float t = (float)n/NOBJECTONCURVE;
        float x0 = points[i-3].x,
                x1 = points[i-2].x,
                x2 = points[i-1].x, 
                x3 = points[i].x;
        float y0 = points[i-3].y,
                y1 = points[i-2].y,
                y2 = points[i-1].y, 
                y3 = points[i].y;

        float x = pow(1.0-t, 3) * points[i-3].x +
            3 * t * pow(1.0 - t, 2) * points[i-2].x +
            3 * (1.0 - t) * pow(t, 2) * points[i-1].x +
            pow(t, 3)*points[i].x;
        float y = pow(1.0-t, 3) * points[i-3].y +
            3 * t * pow(1.0 - t, 2) * points[i-2].y +
            3 * (1.0 - t) * pow(t, 2) * points[i-1].y +
            pow(t, 3)*points[i].y;

        float dx = -3*(1-t)*x0 + 3*x1*((2*t)*(t-1)+pow((1-t),2)) + 3*x2*(2*t*(1-t)-pow(t,2)) + 3*pow(t,2)*x3;
        float dy = -3*(1-t)*y0 + 3*y1*((2*t)*(t-1)+pow((1-t),2)) + 3*y2*(2*t*(1-t)-pow(t,2)) + 3*pow(t,2)*y3;
        float angle = atan(dy/dx);

        glPushMatrix();
        glTranslatef(x, y, 0);
        glRotatef(angle * 180 / 3.14159265, 0, 0, 1);
        drawRightArrow();
        glPopMatrix();
    }
}

glColor3f（0,1,0）；
对于（int i=3；i

---

但你可以看到，切线看起来是不正确的，特别是在Bezier曲线的中间？ 因为我们不想中断线条带，所以制作另一个绘制箭头的循环是合理的。在这个循环中，我们可以跳过一些步骤，因为我们可能不希望在每个步骤之后都有箭头。箭头可以绘制为“GL_线”原语

为了便于阅读，我建议将内部循环中的参数

t

定义为

float t = (float)k/NLINESEGMENT;

现在我们需要计算曲线在这一点上相对于

t

的导数。该导数可以独立地为每个坐标计算。看起来这个问题是家庭作业，所以我把它留给你

float dx = ... //derivative of x-component with respect to t
float dy = ... //derivative of y-component with respect to t

我们还需要曲线点。理想情况下，您已经将其保存在数组或类似结构的上一个循环中

因此，我们可以绘制箭头的基线（其中

s

是自定义比例因子）：

我们还需要实际的箭头。与箭头方向正交的向量为

（-dy，dx）

。所以我们可以把方向和正交方向结合起来得到箭头：

glVertex2d(x + s * dx, y + s * dy);
glVertex2d(x + 0.9 * s * dx - 0.1 * dy, y + 0.9 * s * dy + 0.1 * dx);
glVertex2d(x + s * dx, y + s * dy);
glVertex2d(x + 0.9 * s * dx + 0.1 * dy, y + 0.9 * s * dy - 0.1 * dx);

这将导致90°箭头。可以通过调整系数（0.9和0.1）来更改角度

更新 您的导数更接近实际解，但仍包含一些错误：

此外，在计算角度时，请使用

atan2

功能。这允许您获得大于PI/2的角度：

float angle = atan2(dy,dx);

---

在这类问题中，你所做的截图可以让问题变得更好。@JiewMeng在

x0，y0

中的切线角度是

ang=arctan（dy/dx）

。箭头的坐标（长度为

l

）然后：

（x0，y0）-（l*cos（ang），l*sin（ang））

@PetrBudnik:如果你马上把一个角度转换成向量，为什么还要计算它呢？@NicoSchertler，因为角度与

dx

和

dy

无关，通常，因点而异。

dx

和

dy

通常因点而异。在这种情况下，箭头将具有不同的长度。除非在

sqrt（dx*dx+dy*dy）

上进行规格化。我的意图是使箭头的长度与导数的长度成比例。当然，这取决于任务，这不会使它们与“导数长度”成比例。导数是

dy/dx

（实际上是

lim-dy/dx和dx->0

）。例如，

dx=1，dy=0.5

和

dx=10000，dy=5000

的值相同，等于

0.5

。但在这种情况下，箭头的长度会相差10000倍。这就是为什么你必须以这样或那样的方式处理角度（如果你愿意，你可以使用

dy/dx=tan（ang）

），我说的是

x

和

y

相对于

t

（

dx/dt

和

dy/dt

）的导数。

y

相对于

x

的导数更难计算，并且可能包含不连续性（对于垂直线部分）。因此，使用它来显示切线向量不是一个好主意。此外，

y

通常不能描述为

x

的函数。给定的

x

可能有多个

y

-值。IMHO，您不需要

float angle = atan2(dy,dx);