C++ “快速到达”的方法；改善；单位长度向量的长度

当已知向量已经接近单位长度时，为性能关键代码中的完全向量规范化付费似乎是浪费

有人知道一种快速、实用的方法可以使双精度3D矢量的长度接近1吗？我在想象一种基于牛顿-拉斐逊迭代或1附近的有限泰勒展开的迭代方法

这是一种实际情况，在这种情况下，这样的例行程序可能是有用的。

传入的

向量几乎已经是单位长度，但如果没有显式的规范化，它仍然会触发后续的断言

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使用SSE 2、SSE 4.2或AVX intrinsics是可以的。

手头的问题归结为查找（近似值）

SSE和AVX包含一个近似的平方根倒数机器指令，

rsqrt

，特别适合于此。根据原始数据，倒数平方根变量的最大相对误差最大为1.5×2-12，或小于0.0004

如果使用GCC，可以使用SSE内置函数计算向量平方长度的倒数平方根，并将向量分量乘以结果，得到“几乎单位”向量

请注意，SSE和AVX都提供了加速平方长度计算以及将每个分量相乘的函数。（不过，您需要将比例因子复制到大小相同的向量。）

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如果没有SSE/AVX，一般的问题是我们希望将向量分量乘以f（S）≃ sqrt（1/S）=1/sqrt（S），其中S是向量与其自身的内积（点积），即其长度的平方；但是sqrt（）被认为太慢，并且已知S已经接近1

任何函数f（s），其值在1和平方rt（1／s）之间，在我们认为“接近1”的范围内，将起作用。我能想到的最简单的函数形式是f（S）=（C+1-S）/C。对于S=0.52到22（即长度在1/2和2之间的向量），C是6

如果我们没有任何对平方根倒数的硬件支持，我将尝试的第一种近似方法如下：

计算向量的平方长度S

计算M=0.125*（9-S）

请注意，任何常数对C1和C2=1+1/C1都应该起作用，只有收敛范围和速度不同。在本例中，我选择C1=1/8是因为它在IEEE-754浮点表示法中是精确的，并且通常乘法比除法快得多。其他值（如上面提到的0.5到2范围内的1/6i）不精确，可能需要手动细化（以某种方式调整两个常数中的最低有效单位）

将向量的每个分量乘以M

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如果这不能产生足够好的结果，我就不再担心它，而是使用（硬件）平方根。（在某些体系结构上，将平方长度转换为单精度以计算比例因子可以产生显著的加速。但是，在x86/AMD64上不是这样。）

我不确定一点平方根是否如此昂贵。但无论如何，在x=1附近，x^2的图有导数2，也就是说，它就像一条直线，在x方向上每向前上升2个单位。所以你可以通过减去1，除以2，再加1来估计这个区域的x（从欧几里得距离的平方）。我还没有检查这将如何在性能方面发挥作用，只有您才能知道您的“已接近”是否足够接近。请尝试进行基准测试，然后询问详细信息。因此，这不是一个讨论论坛。请注意，@cheerrandhth.-Alf建议的是

x

附近平方根函数的一阶泰勒展开式，尽管显然是通过不同的途径实现的。您可以通过添加更多的术语来改进它（下一个术语是-（（x-1）^2）/8，但我预计您很快就会通过

sqrt（）这一点

函数的效率更高。另外，请注意，您可以使用泰勒级数误差界项来确定这些近似值是否足够接近您。@JohnBollinger:谢谢，我没有这样想。但现在您提到它，正如我所记得的，麦克劳林级数是通过考虑导数得出的，而泰勒级数是通过用偏移量计算麦克劳林级数？很久以前，我几乎什么都不记得了，除了在课堂上，当一位讲师与一名学生交换时，我感到多么困惑。我想知道他怎么能做到这一点，那有多棒。现在，我想他可能已经记住了这一点……）当然，我应该说

sqrt（x）

在1附近的扩展。“近x”没有任何意义。谢谢你的详细回答，非常感谢。我用一个简单的Newton-Raphson迭代得到了非常好的结果：M=（3-S）*0.5。这似乎比M=（9-S）*0.125收敛得快得多。经常让人认为sqrt速度慢的一件事是，他们没有将

-fno math errno

用于gcc（或其他编译器上的任何等价物），因此编译器生成对libc函数的代价高昂的调用，以测试退化情况，不要直接使用硬件指令。@marglisse不是因为

sqrt

太慢；只是它比，比如说，几次加法和一次乘法要慢。我在帖子中链接的软件在一次运行的过程中计算出数千亿平方根。每一点优化都有帮助。使用一次牛顿-拉斐逊迭代调整一个接近单位长度的3D双精度向量的长度似乎比普通标准化快约2.7倍。@Marglisse:完全同意。此外，GCC仍然不能很好地对操作进行矢量化，因此，如果您可以以两个、四个、八个或十六个为一组（取决于精度以及是否使用AVX256或更早版本）对向量进行规范化，那么您通常可以在大致相同的时间内进行规范化