C++ 大数乘法模

是的，我知道这个问题可能看起来很幼稚，但我在谷歌和这个网站上搜索了很多，但没有找到令人满意的答案。 我只想计算（A*B）%MOD，前提是A是长的，B和MOD也是长的。

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假设MOD大于A和B，使得A%MOD=A和B%MOD=B，但A*B大于64位。如何计算（A*B）%MOD的正确值？

这里的基本思想是首先定义一个非溢出

addmod

函数，该函数在其算术中利用负数。然后根据它定义

timesmod

，同时使用位操作。时间复杂度为

O（N）

，其中N是使用的位数（在本例中为64）

这很容易确认，因为

A=-2

和

B=-1

mod

M

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注意：此代码未经优化。

我认为您可以将128位乘积分成两部分（高64位和低64位），并将每一部分的模p减小。假设

p

约为

4^k

，然后除以

hi64/（p>>k）

，可以大致计算出这个数字中有多少个p；这将为您提供关于正确答案的

k-1

位。从整个事件中减去那么多的

p

，现在

hi64

的

k-1

位减少了。再次执行此操作，但要计算

（hi64>k）

。然后再做一次，计算

（hi64>k）

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另一张海报建议施拉格的把戏，听起来更划算，但我不明白。希望海报回来并完成他的回答

马特：我不同意dup的说法。虚幻灵魂：AB=（A-X）*B+XB，你总是可以用这种方式将A拆分成更小的数字。例如，设置X=地板（A/2）。如果子结果仍然太大，则可以应用相同的过程。这是被接受答案的人的评论“如果long的最大值为2^63-1，那么1768431*x不会溢出，只要x<290331368171”。但这正是我的疑问，如果A*B溢出怎么办，换句话说，除以etimpera@Cheersandhth.-阿尔夫：一个好朋友。这种方法似乎很有希望。我一定会调查的，而不是像OP所说的那个100000007版的问题。其他问题的答案没有一个是完全合适的，因为它们都建议只使用GMP或做一些缓慢、错误或特定于x86的事情。所有人都应该将此项保留为打开状态。问题是您正在为

BigInt

使用有符号类型，因此无法可靠地检测溢出（它会导致未定义的行为）。您需要使用无符号类型来获得可靠的溢出行为。@chrisdd您完全正确；谢谢你指出这一点。我已经更新了

addMod

函数来解决这个问题。您的方法与我编写的最后一个方法几乎相同：

long long int multiply（long long a，long long b，long long mod）{long long long result；if（b==0）返回0LL；result=multiply（a，b>>1，mod）；result=（result+result）%mod；if（b&1）result=（result+a）%mod；return result；}

@unrealsoul007我得到

乘法（0x7FFFFFFFFFFF01,0x7FFFFFFFFFFF02,0x7fffffffffffff03）

返回

-9223372036854711038

。你得到了什么？（我相信答案应该是

2

）@Matt只需编辑一点代码，用无符号的long-long替换long-long，就可以得到ans 2。

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long BigInt; // must be signed, to detect overflow

BigInt A = 0x7fffffffffffff01;
BigInt B = 0x7fffffffffffff02;
BigInt M = 0x7fffffffffffff03;

// For simplicity it is assumed x, y, and m are all positive.
BigInt addmod( BigInt x, BigInt y, BigInt m )
{
  x %= m;
  y %= m;
  BigInt sum = x-m+y; // -m <= sum < m-1
  return sum < 0 ? sum + m : sum;
}

BigInt timesmod( BigInt x, BigInt y, BigInt m )
{
  x %= m;
  y %= m;
  BigInt a = x < y ? x : y; // min
  BigInt b = x < y ? y : x; // max
  BigInt product = 0;
  for (; a != 0; a >>= 1, b = addmod(b,b,m) )
    if (a&1) product = addmod(product,b,m);
  return product;
}

int main()
{
  cout << "A = " << A << endl;
  cout << "B = " << B << endl;
  cout << "M = " << M << endl;
  cout << "A*B mod M = " << timesmod(A,B,M) << endl;
  return 0;
}

A = 9223372036854775553
B = 9223372036854775554
M = 9223372036854775555
A*B mod M = 2