C++11 动态规划中极限的计算

我在topcoder上发现了这个问题：

你的朋友卢卡斯给了你一个正整数序列

有一段时间，你们两个和S玩了一个简单的游戏：Lucas会选择一个数字，你必须选择S的一些元素，这样你选择的所有数字的总和就是Lucas选择的数字。例如，如果S={2,1,2,7}并且Lucas选择了数字11，您将回答2+2+7=11

卢卡斯现在想通过选择一个数字X来欺骗你，这样就不会有有效的答案。例如，如果S={2,1,2,7}，则不可能选择S的元素总和为6

给定int[]S。查找无法作为S的某些（可能所有）元素之和获得的最小正整数X

约束：-S将包含1到20个元素，包括-S的每个元素将介于1和100000之间（含1和100000）

但在《编辑解决方案》中写道：

找到最小的不可能的和怎么样？好的，我们可以尝试以下简单的算法：首先尝试x=1，如果这不是一个有效的和（使用上一节中的方法找到），那么我们可以返回x，否则我们增加x，然后重试，直到找到不是有效和的最小数

让我们找到迭代次数的上界，即在找到结果之前需要尝试的x值的数量。首先，这个问题中可能的最大和是100000*20（所有数字都是最大100000），这意味着100000*20+1不是一个不可能的值。我们肯定最多需要2000001个步骤

这个上限有多好？如果20个数字中的每一个都有100000，那么1就不可能是一个总数。在这种情况下，我们实际上需要一次迭代。如果我们希望1是一个可能的和，我们应该在初始元素中有1。然后我们需要一个2（否则我们只需要2次迭代），然后是4（3可以通过1+2相加得到），然后是8（5到7的数字可以通过2的前3次幂相加得到），然后是16，32。。。。事实证明，使用2的幂，我们可以轻松地进行需要多次迭代的输入。使用2的前17次幂，我们最多可以覆盖前262143个整数。对于最大的数字来说，这应该是一个很好的估计。（我们不能在输入中使用2^18，小于100000）

最多262143次，我们需要查询数字x是否在可能的和集合中。我们可以在这里使用布尔数组。然而，即使是O（log（n））数据结构也应该足够快

我确实理解了第一段。但在那之后，他们解释了一些关于“这个上限有多好？”。我看不懂那一段。如果一个数字x在一组可能的和中，他们是如何推断出我们需要查询262143次这个事实的

我是动态规划的新手，所以如果有人能给我解释一下，那就太好了

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谢谢。

想法如下：

如果输入序列包含两个幂的第一个

k

幂：

2^0，2^1。。。2^（k-1）

，则总和可以是

0

和

（2^k）-1

之间的任何整数。由于序列中出现的两个数的最大幂是

2^17

，因此从18个数中可以得到的最大和是

2^18-1=262143

。如果缺少2的幂，那么将有一个不可能实现的较小的总和

但是，缺少一条语句，即序列中可能还有2个数字（最多20个）。从这两个数字中，您可以重复相同的过程。因此，要检查的最大数量实际上是

（2^18）-1+（2^2）-1

你可能想知道为什么我们使用两个幂而不是任何其他幂。原因是我们对输入序列中的数字执行的二进制选择。我们要么给总数加一个数字，要么不加。因此，如果我们将数字

ni

的选择表示为选择变量

si

（0或1），则可能的总和为：

s = s0 * n0 + s1 * n1 + s2 * n2 + ...

现在，如果我们选择

ni

作为两个

ni=2^i

的幂，那么：

s = s0 * 2^0 + s1 * 2^1 + s2 * 2^2 + ...
  = sum si * 2^i

这相当于数字的二进制表示（请参阅）。根据定义，选择变量的不同选择将产生不同的和。因此，通过在输入序列中选择二的幂，可能和的数目是最大的