Encoding 接班人的麻烦&；莫根森的前身'；s二进制编码_Encoding_Functional Programming_Binary_Lambda Calculus

Encoding 接班人的麻烦&；莫根森的前身'；s二进制编码

encoding functional-programming binary

Encoding 接班人的麻烦&；莫根森的前身'；s二进制编码,encoding,functional-programming,binary,lambda-calculus,Encoding,Functional Programming,Binary,Lambda Calculus,我想将二进制数添加到我的非类型lambda演算库中，但我一直使用succ和pred函数。我使用的是a中概述的表示法，其中定义的大多数函数都起作用，succ和pred返回错误的结果我很确定我的陈述是对的： dec bin De Bruijn classic 0 0 λλλ3 λa.λb.λc.a 1 1 λλλ13 λa.λb.λc.c a 2 10 λλλ2(13) λa.λb.λc.b

我想将二进制数添加到我的非类型lambda演算库中，但我一直使用

succ

和

pred

函数。我使用的是a中概述的表示法，其中定义的大多数函数都起作用，

succ

和

pred

返回错误的结果

我很确定我的陈述是对的：

dec bin   De Bruijn       classic
0   0     λλλ3            λa.λb.λc.a
1   1     λλλ13           λa.λb.λc.c a
2   10    λλλ2(13)        λa.λb.λc.b (c a)
3   11    λλλ1(13)        λa.λb.λc.c (c a)
4   100   λλλ2(2(13))     λa.λb.λc.b (b (c a))
5   101   λλλ1(2(13))     λa.λb.λc.c (b (c a))
6   110   λλλ2(1(13))     λa.λb.λc.b (c (c a))
7   111   λλλ1(1(13))     λa.λb.λc.c (c (c a))
8   1000  λλλ2(2(2(13)))  λa.λb.λc.b (b (b (c a)))

元组和投影看起来也不错：

tuple         De Bruijn               classic
[T, F]        λ1(λλ2)(λλ1)            λa.a (λb.λc.b) (λb.λc.c)
[T, F, F]     λ1(λλ2)(λλ1)(λλ1)       λa.a (λb.λc.b) (λb.λc.c) (λb.λc.c)
[T, F, F, T]  λ1(λλ2)(λλ1)(λλ1)(λλ2)  λa.a (λb.λc.b) (λb.λc.c) (λb.λc.c) (λb.λc.b)

πkn  De Bruijn  classic
π12  λ1(λλ2)    λa.a (λb.λc.b)
π22  λ1(λλ1)    λa.a (λb.λc.c)

使用0位（

shl0

）和1位（

shl1

）上移在测试中效果良好：

SHL0 ≡ λnbzo.z (n b z o) = λ λ λ λ 2 (4 3 2 1)
SHL1 ≡ λnbzo.o (n b z o) = λ λ λ λ 1 (4 3 2 1)

但是依赖于上述术语的

succ

和

pred

不：

SUCC ≡ λn.π22 (n Z A B) ≡ λ π22 (1 Z A B) where
Z ≡ [ZERO, ONE] // encoded like in the first piece of code
A ≡ λp.p (λnm.[SHL0 n, SHL1 n]) ≡ λ 1 (λ λ [SHL0 2, SHL1 2])
B ≡ λp.p (λnm.[SHL1 n, SHL0 m]) ≡ λ 1 (λ λ [SHL1 2, SHL0 1])

PRED ≡ λn.π22 (n Z A B) ≡ λ π22 (1 Z A B) where
Z ≡ [ZERO, ZERO] // encoded like in the first piece of code
A ≡ λp.p (λnm.[SHL0 n, SHL1 m]) ≡ λ 1 (λ λ [SHL0 2, SHL1 1])
B ≡ λp.p (λnm.[SHL1 n, SHL0 n]) ≡ λ 1 (λ λ [SHL1 2, SHL0 2])

示例结果：

succ 0 = λa.λb.λc.c a / λλλ13 ok
succ 1 = λa.λb.λc.b (b c) / λλλ2(21) wrong, expected λλλ2(13)
succ 2 = λa.λb.λc.c (b (c (λd.λe.λf.e (b d e f)) (λd.λe.λf.f (b d e f)))) / λλλ1(2(1(λλλ2(5321))(λλλ1(5321)))) wrong, expected λλλ1(13)
succ 3 = λa.λb.λc.b (b c) / λλλ2(21) wrong, expected λλλ2(2(13))

pred 1 = λa.λb.λc.b a / λλλ23 wrong-ish, expected λλλ3; it's just a leading zero, but it's stated that those should only be caused by inputs that are powers of 2
pred 2 = λa.λb.λc.c (b c) / λλλ1(21) wrong, expected λλλ13
pred 3 = λa.λb.λc.b (b a) / λλλ2(23) wrong, expected λλλ2(13)
pred 4 = λa.λb.λc.c (b c) / λλλ1(21) wrong, expected λλλ1(13)

我的术语评估器经过数百个术语的测试，所以我对它很有信心；我怀疑要么是我误读了什么，要么是什么印刷错误了。我遗漏了什么吗？

因此，正如勒杰德兹提到的，我们设法让摩根森数字在单独的聊天中工作。在这个回答中，我将简单地描述它的一般工作原理

问题是：«我怀疑要么是我误读了什么，要么是什么印刷错误。我错过什么了吗？»

tl；博士：结果是一些与评估顺序有关的棘手问题导致了这个问题。问题中提到的摩根森数字起作用

详细回答：

succ

是如何工作的

注意：在下面的

B中，N

始终假定为

，如原稿所示

Morgensen数字背后的想法是让数字

n=b\n。。。b_2 b_1

编码为

\z.\x_0.\x_1。x{b_1}（x{b_2}（…（x{b_n}z）…）

。这是很难理解的，但如果这样说，它会变得更清晰：

数字

是一个需要3个参数的术语，应用时返回

x_{b_1}（x_{b_2}（…（x_{b_n}）z）

那还不清楚。如果我们深入观察，我们会发现一个数字

递归地应用于

x_0

或

x_1

，从一个术语

开始。请注意，递归调用是“从左到右”进行的，即，如果我有一个编号

b_n b_{n-1}。。。b_2 b_1

，然后按以下顺序计算递归调用：

首先，让它成为
```
i{n-1}
```
然后
```
b{n-1}i{n-1}
```
，让它成为
```
i{n-2}
```
最后是我

（好吧，评估策略决定了准确的评估顺序，因为我认为很容易认为它是这样评估的）

与列表上的
折叠功能的关系
事实上，当我意识到这一点时，它只是让我想到了位列表的左折叠功能：假设你有一个位列表
l=[b\n；…；b\u 2；b\u 1]
，那么你可以做以下事情：

fold_left (fun prev_acc -> fun b -> if b = 0 then x_0 prev_acc else x_1 prev_acc) z l
让
f

fun prev_acc -> fun b -> if b = 0 then x_0 prev_acc else x_1 prev_acc
返回（根据）
评估结果如下：

fzbn
计算结果为
x{bn}z
，即
i{n-1}
，如上所述

fi{1}b_1
，如上所述

总之，你完全可以把Morgensen数字想象成列表上的左折（或右折，取决于你对列表的想象）

获取数字的
成功
获取一个数字的
succ
就是获取
n+1
。二进制增量是一个很好的属性：
如果
m=bn。。。比比基比克。。。b1
，其中
bj
是第一个
0
（即
bk=…=b1=1
），然后
m+1=bn。。。BI10。。。0
这可以说明：

bn ... bi 0 1 1 1 1 1
如果我添加
1
，那么我得到（通过详细说明所有步骤）：
其中（1）
tuple_msb
是包含
（bn…bi，（bn…bi）+1）
的元组；其中（2）
original_msb
和
incr_msb
根据
bj
计算。事实上：

如果
bj
为
0
，则
（bn…bibj）+1=（bn…bi0）+1=（bn…bi1）

如果
bj
是
1
，则
（bn…bi bj）+1=（bn…bi 1）+1=（（bn…bi）+1）：：0

也就是说，传递到
fold_left
的完整功能如下：

(* We keep the original sequence on the left of the tuple, the incremented `bn ... bi bj` on the right *) fun tuple_msb -> fun bj -> if bj = 0 then (tuple_msb._1 :: 0, tuple_msb._1 :: 1) else (tuple_msb._1 :: 1, tuple_msb._2 :: 0)
基本情况（即起始元素是元组
（0，1）
）
从这里，我们很容易回到Morgensen不可读的术语（这里有一个关于参数顺序的隐藏的小捷径，但它真的不重要）：
我们可以将
fun tuple\u msb->（tuple\u msb.\u 1:：0，tuple.\u 1:：1）
识别为
x\u 0
和
fun tuple\u msb->（tuple\u msb.\u 1:：1，tuple\u msb.\u 2:：0）
根据我们在
x\u 0
和
x\u 1
开始时使用的符号，以及基本情况（即开始时的
z
是
（0，1）
）
为了得到最终的后继者，我们必须得到返回元组的正确部分，从而得到最终的结果

let succ n = let ret_tuple = n z x_0 x_1 in ret_tuple._2
或者用lambda术语：

succ' = λn. π22 (n z x_0 x_1)
所有的
π22
，
z
，
x_0
和
x_1
都有相应的定义

我们的
succ'
与提议的
succ
有点不同，即
x_0
不完全是
a
，
x_1
不完全是
B
，但最后一步很简单，留给感兴趣的读者；-）
当溴通知我他们对
succ
的定义略有不同时，我将其移植到Ocaml+utop中，并使用我的库进行了测试。不过，它也失败了，所以我开始分析所有涉及的术语，结果发现所有内容都与我的实现中的内容几乎相同。我确信我的评估者都是可靠的，而且这些定义都是有效的，我一直在寻找，直到我找到了f
(* We keep the original sequence on the left of the tuple, the incremented `bn ... bi bj` on the right *) fun tuple_msb -> fun bj -> if bj = 0 then (tuple_msb._1 :: 0, tuple_msb._1 :: 1) else (tuple_msb._1 :: 1, tuple_msb._2 :: 0)

let succ n = let ret_tuple = n z x_0 x_1 in ret_tuple._2

succ' = λn. π22 (n z x_0 x_1)

succ 1 = (λn.π² (n Z A B)) |1| = (λn.π² (n Z A B)) (λz01.1 z) = π² ((λz01.1 z) Z A B) = π² (B Z) = π² ((λp.p (λnm.[↑1 n, ↑0 m])) [|0|, |1|]) = π² ([|0|, |1|] (λnm.[↑1 n, ↑0 m])) = π² ((λx.x |0| |1|) (λnm.[↑1 n, ↑0 m])) = π² ((λnm.[↑1 n, ↑0 m]) |0| |1|) = π² [↑1 |0|, ↑0 |1|] = ↑0 |1| = (λn.λz01.0 (n z 0 1)) |1| = λz01.0 (|1| z 0 1) = λz01.0 ((λz01.1 z) z 0 1) = λz01.0 (1 z) = |2|

(λ(λ1(λλ1))(1(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλλ1((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))))(λλλ13)

(λ(λ1(λλ1))(1(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλλ1((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))))(λλλ13) ^ ^ ^^^^^^^ ↳ becomes λλλ13 (λ1(λλ1))((λλλ13)(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλλ1((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes (λλλ13)(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλλ1((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))) (λλλ13)(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλλ1((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λλ1) ^ ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λ1(λλλ3)(λλλ13) (λλ1(λ1(λλλ3)(λλλ13)))(λ1(λλλ1((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λλ1) ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ - is dropped (λ1(λ1(λλλ3)(λλλ13)))(λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λλ1) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)) (λ1(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λλ1) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λ1(λλλ3)(λλλ13) (λ1(λλλ3)(λλλ13))(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλ1) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1) (λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλλ3)(λλλ13)(λλ1) ^ ^^^^^^ - is dropped (λλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλλ13)(λλ1) ^ ^ ^^^^^^^ ↳ becomes λλλ13 (λ1((λλλλ1(4321))(λλλ13))((λλλλ2(4321))1))(λλ1) ^^ ^ ↳ becomes (λλ1) ↳ becomes (λλ1) (λλ1)((λλλλ1(4321))(λλλ13))((λλλλ2(4321))(λλ1)) ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ - is dropped (λ1)((λλλλ2(4321))(λλ1)) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes (λλλλ2(4321))(λλ1) (λλλλ2(4321))(λλ1) ^ ^ ^^^^^ ↳ becomes λλ1 λλλ2((λλ1)321) ^ ^ - is dropped λλλ2((λ1)21) ^^ ^ ↳ becomes 2 λλλ2(21) // fail

(λ(λ1(λλ1))(1(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))))(λλλ13)

(λ(λ1(λλ1))(1(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))))(λλλ13) ^ ^ ^^^^^^^ ↳ becomes λλλ13 (λ1(λλ1))((λλλ13)(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes (λλλ13)(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))) (λλλ13)(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λλ1) ^ ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λ1(λλλ3)(λλλ13) (λλ1(λ1(λλλ3)(λλλ13)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ2(4321))2)((λλλλ1(4321))2)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λλ1) ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ - is dropped (λ1(λ1(λλλ3)(λλλ13)))(λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λλ1) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)) (λ1(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1)))(λ1(λλλ3)(λλλ13))(λλ1) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λ1(λλλ3)(λλλ13) (λ1(λλλ3)(λλλ13))(λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλ1) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1) (λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλλ3)(λλλ13)(λλ1) ^ ^ ^^^^^^ ↳ becomes λλλ3 (λ(λλλ132)((λλλλ1(4321))(λλλ3))((λλλλ2(4321))1))(λλλ13)(λλ1) ^ ^ ^^^^^^^ ↳ becomes λλλ13 (λλλ132)((λλλλ1(4321))(λλλ3))((λλλλ2(4321))(λλλ13))(λλ1) ^ ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes (λλλλ1(4321))(λλλ3) (λλ1((λλλλ1(4321))(λλλ3))2)((λλλλ2(4321))(λλλ13))(λλ1) ^ ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes (λλλλ2(4321))(λλλ13) (λ1((λλλλ1(4321))(λλλ3))((λλλλ2(4321))(λλλ13)))(λλ1) ^^ ^^^^^ ↳ becomes λλ1 (λλ1)((λλλλ1(4321))(λλλ3))((λλλλ2(4321))(λλλ13)) ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ - is dropped (λ1)((λλλλ2(4321))(λλλ13)) ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ↳ becomes (λλλλ2(4321))(λλλ13) (λλλλ2(4321))(λλλ13) ^ ^ ^^^^^^^ ↳ becomes λλλ13 λλλ2((λλλ13)321) ^ ^ ^ ↳ becomes the right-hand side 3 and gets an index upgrade due to extra abstractions λλλ2((λλ15)21) ^ ^ ↳ gets its index downgraded λλλ2((λ14)1) ^^ ^ ↳ becomes the right-hand side 1; 4 gets an index downgrade λλλ2(13) // aww yiss

(λλλ1((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλλ3)(λλλ13)(λλ1) // normalized tuple ^ ^^^^^^ - is dropped (λλ(λλλ132)((λλλλ1(4321))2)((λλλλ2(4321))1))(λλλ3)(λλλ13)(λλ1) // unnormalized tuple ^ ^ ^^^^^^ ↳ becomes λλλ3

λ PI22 (1 [ZERO, ONE] (λ 1 (λ λ [SHL0 2, SHL1 2])) (λ 1 (λ λ [SHL1 2, SHL0 1]))) // wrong λ PI22 (1 [ZERO, ONE] (λ 1 (λ λ TUPLE2 (SHL0 2) (SHL1 2))) (λ 1 (λ λ TUPLE2 (SHL1 2) (SHL0 1)))) // right where TUPLE2 ≡ λ λ λ 1 3 2