Floating point 为什么（1-x）（1+；x）比（1-x^2）更可取？

我正在研究一个运行时库实现的

arcin

，它是通过计算：

ArcTan(X, Sqrt(1 - X*X))

---

但是，计算

1-X*X

的代码实际计算

（1-X）*（1+X）

。是否有充分的理由选择后者？我怀疑后者会减少接近零的

X

的舍入误差，但我无法解释为什么会这样。

我编写了下面的程序，以获得单精度的一些经验结果

#include <float.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

long double d1, d2, rel1, rel2;
float i1, i2;
int main() {
  float f;
  for (f = nextafterf(0, 2); f <= 1; f = nextafterf(f, 2))
    {
      long double o = 1.0L - ((long double)f * f);
      float r1 = (1 - f) * (1 + f);
      float r2 = 1 - f * f;
      long double c1 = fabsl(o - r1);
      long double c2 = fabsl(o - r2);
      if (c1 > d1) d1 = c1;
      if (c2 > d2) d2 = c2;
      if (c1 / o > rel1) rel1 = c1 / o, i1 = f;
      if (c2 / o > rel2) rel2 = c2 / o, i2 = f;
    }

  printf("(1-x)(1+x) abs:%Le  relative:%Le\n", d1, rel1);
  printf("1-x*x      abs:%Le  relative:%Le\n\n", d2, rel2);

  printf("input1: %a 1-x:%a 1+x:%a (1-x)(1+x):%a o:%a\n", i1, 1-i1, 1+i1, (1-i1)*(1+i1), (double)(1 - ((long double)i1 * i1)));
  printf("input2: %a x*x:%a 1-x*x:%a o:%a\n", i2, i2*i2, 1 - i2*i2, (double)(1 - ((long double)i2 * i2)));
}

根据这些结果，

1-x*x

具有更好的绝对精度，

（1-x）*（1+x）

具有更好的相对精度。浮点是关于相对精度的（整个系统的设计允许相对准确地表示大小值），因此后一种形式是首选

编辑：计算最终错误更有意义，如Eric的回答所示。选择表达式中的子表达式，例如

ArcTan（X，Sqrt（1-X*X））

并不是因为其总体准确性更好，而是因为它在最重要的地方是准确的。将以下行添加到循环体：

  long double a = atan2l(f, sqrtl(o));
  float a1 = atan2f(f, sqrtf(r1));
  float a2 = atan2f(f, sqrtf(r2));
  long double e1 = fabsl(a - a1);
  long double e2 = fabsl(a - a2);
  if (e1 / a > ae1) ae1 = e1 / a, i1 = f;
  if (e2 / a > ae2) ae2 = e2 / a, i2 = f;

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使用

atan2l（f，sqrtf（r1））

可能很有意义，因为我没有与您的系统完全相同的功能

ArcTan

。无论如何，有了这些注意事项，对于完整表达式，[-1…1]区间上的最大相对误差对于（1-x）（1+x）版本为1.4e-07，对于1-x2版本为5.5e-7。

ArcTan（x，Sqrt（1-x*x））对x的导数是

1/Sqrt（1-x*x）

。当| X |变为1时，它变为无穷大。因此，当X接近1或-1时，计算中的任何错误都会对结果产生巨大影响。因此，在这些情况下，使评估误差最小化是至关重要的

当X接近1时，

1-X

的计算没有错误（在IEEE 754或任何良好的浮点系统中，因为结果的规模使得其最低有效位至少与1或X中的最低有效位一样低，因此精确的数学结果没有超出可用有效位的位）。由于<代码> 1-x是精确的，考虑了<代码> 1 +x>代码>中的误差的影响，考虑了<代码> ARCTAN（x，Sqrt（（1-x）*（1 +x+e））< /> >关于E，其中E是在<代码> 1 +x操作中引入的误差。当x接近1，E小时，导数是-1/10。（用Maple取导数，用1代替x得到

-1/（sqrt（4+2e）*（5+2e）

。然后用0代替e得到-1/10。）因此

1+x中的错误并不严重

因此，将表达式求值为
ArcTan（X，Sqrt（（1-X）*（1+X））
是一种很好的求值方法

对于接近-1的X，情况是对称的。（
1+X
没有错误，
1-X
不是关键。）

<> P，相反，如果在<代码> x*x<／代码>中考虑，<代码> ARCTAN（x，Sqrt（1-x*x+e））< /> >关于E是，当x接近1时，大约为1 /（2qRT（e）（1 +e）），所以当E很小时它是大的，因此当x接近1时，在评价<代码> x*x< /代码>中的一个小错误将导致结果中的大误差。

当计算函数f（x）时，请询问Pascal Cuoq指出的问题，我们通常对最小化最终结果中的相对误差感兴趣。正如我所指出的，由于浮点舍入，计算过程中出现的误差通常是中间结果中的相对误差。我在上面可以忽略这一点，因为我在考虑X接近1时的函数，所以将考虑中的值（1+X和X*X）命名为中间值，最终值的震级接近1，因此将这些值除以这些震级不会显著改变任何东西

然而，为了完整性，我更仔细地检查了情况。在Maple中，我分别编写了
g:=arctan（x，sqrt（（1-x*x*（1+e0））*（1+e1））*（1+e2））
，从而考虑了
x*x
，
1-x*x
，以及
sqrt
，计算中的相对误差e0、e1和e2，并编写了
h:=arctan（x，sqrt（（1-x）*（1+x）*（1+e0））*（1+e2））
作为替代方案。请注意，在这种情况下，e0将
1-x
、
1+x
中的三个错误以及它们的乘法组合在一起；完整的错误项可以是
（1+ea）*（1+eb）*（1+ec）
，但这实际上是
1+e0

然后，我研究了这些函数关于（一次一个）e0、e1和e2除以abs（f（x））的导数，其中
f
是理想函数，
arctan（x，sqrt（1-x*x））
。例如，在Maple中，我研究了
diff（g，e0）/abs（f（x））
。我没有对这些进行全面的分析评估；我检查了一些接近0和接近1的x值，以及e0、e1和e2值在其一个限值-2-54处的值

对于接近0的x，所有值的大小都在1或更小。也就是说，计算中的任何相对误差都会导致结果中类似的相对误差，或更小

对于接近1的x，e1和e2导数的值很小，约为10-8或更小。但是，对于这两种方法，e0导数的值相差很大。对于
1-x*x
方法，该值约为2•107（使用x=1-2-53）。对于
（1-x）*（1+x）
方法，该值约为5•10-9

总之，这两种方法在接近x=0时没有太大区别，但
（1-x）*（1+x）
方法在接近x=1时明显更好。
是的，您理解正确。这是关于舍入精度的问题。这与您的具体情况不完全相关，但对于对数计算，这种转换可能非常有用：
log（1-x*x）如果x接近零（
1E-12
），而
log（1-x）+l
  long double a = atan2l(f, sqrtl(o));
  float a1 = atan2f(f, sqrtf(r1));
  float a2 = atan2f(f, sqrtf(r2));
  long double e1 = fabsl(a - a1);
  long double e2 = fabsl(a - a2);
  if (e1 / a > ae1) ae1 = e1 / a, i1 = f;
  if (e2 / a > ae2) ae2 = e2 / a, i2 = f;