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Floating point 是"；银行家'；s四舍五入“；真的更稳定吗？

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我所说的银行家四舍五入是指

  • “四舍五入，五舍五入”
    • 作为：

    四舍五入到最接近的值；如果数字中途下降，则使用偶数（零）最低有效位四舍五入到最接近的值。这是二进制浮点的默认值，也是十进制的推荐默认值

    据说这种方法比其他方法更可取

  • “四舍五入到最近，距离为零”
    • 它“将四舍五入数字相加时的预期误差降至最低”。显然，这是“在最合理的分布上，它不像舍入半离零法那样受到负或正偏差的影响”

    我不明白为什么会这样。直观地说，如果将
    0.0
    四舍五入为零，
    0.5
    “应该”四舍五入为零（如方法2所示）。这样，等量的数字将向零和远离零取整。简单地说，如果浮点数用一个十进制数字表示，那么在十个数字中，
    0.0
    ，…，
    0.9
    五个将向下舍入，五个将使用方法2向上舍入。类似地，对于
    1.0
    ，…，
    1.9
    等

    当然，浮点数是用二进制尾数表示的，但我认为上面的推理仍然适用。请注意，对于IEEE 754双精度，整数和整数加一半都可以精确地表示为绝对值，大约为
    2^52
    ，因此这些精确值实际上在实践中会出现

    那么方法1如何更好呢？

    对它确实在数值上更稳定

    对于您正在查看的案例，数字
    [0.0，0.1，…，0.9]
    ，请注意，在舍入到“远离”的关系下，这些数字中只有四个向下舍入（
    0.1
    到
    0.4
    ），五个向上舍入，一个（
    0.0
    ）通过舍入操作保持不变，当然，对于
    1.0
    到
    1.9
    ，
    2.0
    到
    2.9
    ，这种模式会重复。因此，平均而言，从零开始舍入的值比从零开始舍入的值多。但在与平的圆形关系下，我们会得到：

    • 在
      [0.0,0.9]
    • 在
      [1.0,1.9]
    等等。平均而言，我们得到的值向上舍入和向下舍入的数目相同。更重要的是，舍入引入的预期误差（在输入分布的适当假设下）接近于零

    下面是一个使用Python的快速演示。为了避免由于Python 2/Python 3在内置的
    round
    函数中的差异而带来的困难，我们给出了两个Python版本不可知的舍入函数：

    def圆形到偶数（x）：
"""
将浮点x四舍五入到最接近的整数，四舍五入到偶数。
"""
如果x<0：
返回-圆形到偶数（-x）#使用对称
内部零件，分形零件=divmod（x，1）
返回整数（整数部分）+(
压裂部分>0.5
或（分形部分==0.5和整数部分%2.0==1.0））
def圆形接头远离零点（x）：
"""
将浮点x四舍五入到最接近的整数，将关系从零四舍五入。
"""
如果x<0：
返回-圆_ties _远离_zero（-x）#使用对称
内部零件，分形零件=divmod（x，1）
返回整数（整数部分）+（分数部分>=0.5）
    现在，我们来看一下将这两个函数应用于范围
    [50.01000.0]
    中小数点后的一位数字时引入的平均误差：

    >>测试值=[n/10.0表示范围内的n（5001001）]
>>>错误\u偶数=[四舍五入\u到\u偶数（值）-测试值中的值对应值]
>>>errors_away=[取整_ties_away_from_zero（value）-测试值中值的值]
    我们使用最近添加的
    统计
    标准库模块来计算这些误差的平均值和标准偏差：

    导入统计信息 >>>statistics.mean（错误为偶数），statistics.stdev（错误为偶数） (0.0, 0.2915475947422656) >>>statistics.mean（错误），statistics.stdev（错误） (0.0499001996007984, 0.28723681870533313) 这里的关键点是
    错误\u甚至
    的平均值为零：平均误差为零。但是
    errors\u away
    具有正平均值：平均误差偏离零
    

    
一个更现实的例子
这是一个半现实的例子，演示了在数值算法中圆结偏离零的偏差。我们要用这个算法计算一系列浮点数的和。该算法将要计算的和分成两个大致相等的部分，递归地对这两部分求和，然后将结果相加。它比简单的求和要精确得多，但通常不如更复杂的算法那样精确。这是NumPy的
    sum
    函数使用的算法。下面是一个简单的Python实现
    

    导入操作符
def pairwise_sum（xs，i，j，add=operator.add）：
"""

    返回浮点的总和xs[i:j]（从
    0.0
    到
    0.9
    的十个数字中有0个，四个向下舍入，五个向上舍入，一个保持不变。@MarkDickinson啊，这是有道理的。除去整数，我想我看到了银行家的舍入是如何减少偏差的。这是一个很好的例子：从
    1.0
    开始。添加
    epsilon/2
    ，subtract
    epsilon/2
    ，重复。从数学上讲，无论你重复多少次，结果都应该是
    1.0
    。在向上取整的过程中，你会慢慢爬向
    2.0
    @MarkDickinson。你能把你的评论转化为答案吗？我认为它很好地澄清了这个问题。我会努力找到时间。事实上，我很乐意看到这里的一位专家给出了一个经过适当研究的答案：我从理论上知道，有一些真正的算法会受到“漂移”的影响