For loop for循环的运行时

这个用大O表示法嵌套的for循环的运行时是什么

for(i = 1 to k)
{
    for(j = i+1 to k)
    {}
}

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它比O（k^2）小，但我无法计算。

你的问题与级数s（k）=0+1+2+…+密切相关（k-2）+（k-1）。可以证明S（k）=（k*（k-1））/2=（k*k）/2-k/2。[如何？将总和重新排序为S（k）={0+（k-1）}+{1+（k-2）}+{2+（k-3）}+..这说明了如何进行排序。]

因此，算法阶数是否小于O（k*k）？记住，像1/2这样的常数系数不会影响大O符号

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问：那么它相当于将

j=i+1到k

替换为

j=1到k

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答:对。这很棘手，所以让我们仔细想想。对于

i==1

，内部循环的操作运行多少次？答：它运行

k-1

次。同样，对于

i==2

，内部循环的操作运行多少次？答：它运行

k-2

次。最终，对于

i==k

，内部循环的操作运行多少次？答：它运行零次。因此，在

i

的所有值上，内部循环的操作运行了多少次？回答：

（k-1）+（k-2）+…+0

，即上述总和S（k）

所以这相当于用j=1替换j=i+1？不，这很棘手，但让我们仔细想想。对于

i==1

，内部循环的操作运行多少次？答：它运行

k-1

次。同样，对于

i==2

，内部循环的操作运行多少次？答：它运行

k-2

次。最终，对于

i==k

，内部循环的操作运行多少次？答：它运行零次。因此，在

i

的所有值上，内部循环的操作运行了多少次？回答：

（k-1）+（k-2）+…+0

，这只是前面提到的总和S（k）。我的意思是它在时间复杂度方面是等价的。因为两者都给出O（k^2）界。其中j=i+1给出了O（k*（k-1）/2=O（k^2），j=1是O（k*（k+1）/2）=O（k^2）。我明白了。没错。你不会这么想，但是用j=i+1代替j=1消除了大约一半的内部循环动作调用，但它并没有消除更多；所以你是正确的。是的，这有点不直观。谢谢！