For loop 三个相互依赖的嵌套循环的渐近分析

我要分析的代码片段如下：

int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
   for (int j = 0; j < i * i; j++)
      for (int k = 0; k < j; k++)
         sum++;

int和=0；
对于（int i=0；i

---

我知道第一个循环是O（n），但这就是我所知道的。我认为第二个循环可能是O（n^2），但我越想它，它就越没有意义。任何指导都将不胜感激。

尝试计算内部循环执行的次数：

中间的循环运行

0*0 times when i == 0
1*1 times when i == 1
2*2 times when i == 2
...
n*n = n^2 times when i == n.

---

因此，第一个循环执行了

n

次。每次，值

i

都会增加。对于每个这样的

i

，第二个循环执行

i*i

次。这意味着第二个循环执行

1*1+2*2+3*3+…+n*n

次

这是平方和，公式是。因此，我们有第二个循环执行

（n（1+n）（1+2n））/6次

因此，我们知道总共将有
（n（1+n）（1+2n））/6
j的值，并且对于这些值中的每一个，第三个循环将执行
1+2+…+j=j（j+1）/2次。实际上，计算第三个循环总共执行了多少次是非常困难的。幸运的是，您真正需要的是函数顺序的最小上界

您知道，对于
j
的
（n（1+n）（1+2n））/6
值中的每一个，第三个循环将执行少于
n（n+1）/2次。因此，您可以说操作
sum++
将执行少于
[（n（1+n）（1+2n））/6]*[n（n+1）/2]
次。经过一些快速的心算，这相当于一个最大次数为5的多项式，因此您的程序是
O（n^5）

（第一个参数是迭代器，第二个是上界，最后一个参数是我们要添加的）

这实际上是n个数对i*i的和。这意味着我们可以应用公式（（n+1）*n）/2

这些都是众所周知的公式，玩了一小会儿，你会得到：

 N = (n^5)/10 + (n^4)/4 + (n^3)/3 + (n^2)/4 + n/15

这应该是循环所需的确切步数，但是如果您对O表示法感兴趣，您可以注意到n^5是增长最快的部分，因此解决方案是O（n^5）
如果您使用Sigma表示法系统地进行，您将得到以下结果：

最后一次运行时为O（n^2）。所有的跑步都远不止这些。是的。我的意思是，只有中间循环的复杂性是
O（n^2）
。
Then M = Sum(j=0,i^2,K) = Sum(j=0, i^2, j)

 M = Sum(j=0,i^2,j) = ((i^2+1)*(i^2))/2 = (i^4 + i^2)/2

 N = Sum(i=0, n, M) = 1/2 * ( Sum(i=0, n, (i^4)) + Sum(i=0, n, (i^2)) )

 N = (n^5)/10 + (n^4)/4 + (n^3)/3 + (n^2)/4 + n/15