Function 这些函数中，哪一个具有较高的无穷增量？

我想比较两个给定函数的渐近增量，看看哪一个函数的增量更大

给定函数

f（n）=n*ln（n）

和

g（n）=$e^log_2（n）$

，我的解决方案如下图所示：

---

结果是，

n*ln（n）

更快。从图表上看，我不相信这一点。谁能告诉我怎么解决这个问题吗？

你的图表说的是实话，

g（n）

的增长速度比

f（n）

快。原因如下：

关键方程式如下

log_a(x) = log_b(x)/log_b(a)                         (*)

这是很容易证明的定义，因为

b^{log_a(x)log_b(a)} = (b^{log_b(a)})^{log_a(x)}     ; t^{sr} = (t^s)^r
                     = a^{log_a(x)}                  ; b^{log_b(a)}=a
                     = x.

（证据是完整的，但你可以在两面都做

log_b

来进一步说服自己）

现在，我们可以在特定情况下使用（*）：

log_2(n) = log_e(n)/log_e(2)                         (**)

得到

g(n) = e^{log_2(n)}                                  ; def of g(n)
     = e^{log_e(n)/log_e(2)}                         ; (**)
     = (e^{log_e(n)})^{1/log_e(2)}                   ; t^{s/r} = {t^s}^{1/r}
     = n^{1/log_e(2)}                                ; e^{log_e(n)}=n
     = n^{log_2(e)}                                  ; (*) for x=b=e, a=2

但是由于

e>2

，我们推断

logu2（e）>1

，比如说，

logu2（e）=1+δ

，其中

δ>0

。因此

g(n) = n*n^δ

我们现在必须将

g（n）

与

f(n) = n*ln(n)                                       ; def of f(n)

这与比较

n^δ

和

ln（n）

是一样的。为此，我们可以计算

lim n^δ/ln(n)

这和

lim x^δ/ln x                                         ; x → ∞

在那里我们可以使用L'Hôpital的规则

lim δx^{δ-1}/x^{-1} = lim δ x = δ lim x = ∞          ; δ > 0. 

因此

---

而且

g（n）

比

f（n）

增长得快，我不明白你是怎么来的；e^{log_e（n）}=n到=n^{log_2（e）}。你能给我解释一下吗？我理解对了吗，如果有对数，有以下规则：log_e（x）=1/log_x（e）和x^log_y（z）=z^log_y（x）=z^（1/log_x（y））？因为如果这个建议是正确的，那么我理解它是对第一条评论的回答：使用公式（*）表示

x=b=e

和

a=2

得到

log_2（e）=log_e（e）/log_e（2）=1/log_e（2）

。对第二条评论的回答：是的，公式是有效的。对于第一个方程，取两边的log_y并得到：

log_y（z）log_y（x）=log_y（x）log_y（z）

，这是真的。第二个等式来自第一个注释，我的意思是x^log_y（z）=z^log_y（x）=z^（1/log_x（y）），而不是log_y（z）log_y（x）=log_y（x）log_y（z）。你是说x^log_y（z）=z^log_y（x）=z^（1/log_x（y））是正确的？（只是为了确定我们的意思是一样的）

lim g(n)/f(n) = ∞