Isabelle 如何证明元素不属于归纳集合

假设我已经定义了一个感应集，例如，感应集“偶数”，这样：

inductive_set Even :: "int set" 
  where  ZERO : "0 ∈ Even"
          | PLUS :"x ∈ Even ⟹x+2 ∈ Even"
          | MIN :"x ∈ Even ⟹ x-2 ∈ Even"

lemma aux : "x= ((x::int)-2) + 2" by simp

证明

引理：“2”是相当容易的∈ 通过使用subst将2替换为2-2+2，甚至“

”

但是我想知道如何证明引理：“1∉ 甚至“

编辑：

对于3个人来说，什么是同等的方式

lemma "3 ∉ Even"
proof
  assume "3 ∈ Even"
  then have "2 dvd 3"
(*how to continue?*)
qed

---

提前感谢

我将首先证明一个中间结果，即归纳集中的每个数字都可以被2整除：

lemma Even_divisible_by_2: "n ∈ Even ⟹ 2 dvd n"
  by (induction rule: Even.induct) simp_all

然后用矛盾来证明你的结果：

lemma "1 ∉ Even"
proof
  assume "1 ∈ Even"
  then have "2 dvd 1"
    using Even_divisible_by_2 by fastforce
  then show False
    using odd_one by blast 
qed

我强烈建议您使用Isabelle/Isar而不是校对脚本

注意：根据文章作者的要求，我添加了一个证明

3∉ 甚至

采用上述证明的风格：

lemma "3 ∉ Even"
proof
  assume "3 ∈ Even"
  then have "2 dvd 3"
    using Even_divisible_by_2 by fastforce
  then show False
    using odd_numeral by blast
qed

替代解决方案：@user9716869提供了以下更通用、更高效的解决方案，该解决方案基于

偶数可除\u by_2

：

lemma n2k1_not_Even: "odd n ⟹ n ∉ Even"
  using Even_divisible_by_2 by auto

lemma "1 ∉ Even" and "3 ∉ Even" and "11 ∉ Even"
  by (simp_all add: n2k1_not_Even)

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哈维尔·迪亚兹已经给出了答案，但我想就问题中的部分证明提纲发表几点补充意见。首先，调用

auto

可以消除

subst aux

的影响。因此，

apply（subst aux）

后跟

apply（auto）

应等同于标准设置的

apply（auto）

。其次，用

auto

开始打样并不被认为是一种好的风格，例如参见。最后，已经存在一个更一般的谓词

甚至
，其行为应该等价于
（λx.x）∈ 偶数）
on
int
s。我已经注意到在发布后自动删除subst的效果：）感谢链接和关于一般谓词偶数的提示：）谢谢你的回答，但是你能解释一下奇数的确切作用吗？为了好玩，我试着做这个证明，但是mod而不是div
引理偶数：n∈ 即使⟹ n mod 2=0“by（诱导规则：偶数诱导）（simp，presburger+）引理”3∉ 甚至“证明假设”3∈ “偶数”然后通过fastforce使用偶数mod让“3 mod 2=0”然后通过blast qed使用奇数显示False
但是我被卡住了…@user206904您可以控制单击定理来查看它们的定义
thm odd_one
还将向您展示该定理是什么（这种方法比在这里提问更有效；-）。@MathiasFleury，非常感谢您的提示，我按照您的指示进行了检查，但我仍然不完全理解它在这个证明中的用法……另一个注意事项。奇怪的是，在Isabelle2021-RC2中，我们可以使用
by（归纳规则：偶数.induct）simp\u all
@user206904来证明
偶数可被2整除。
lemma n2k1_not_Even: "odd n ⟹ n ∉ Even"
  using Even_divisible_by_2 by auto

lemma "1 ∉ Even" and "3 ∉ Even" and "11 ∉ Even"
  by (simp_all add: n2k1_not_Even)