基本Isabelle序列极限证明

在我之前已经有数百人尝试过，我试图通过证明极其基本的数学定理来学习伊莎贝尔。这项任务很难，因为出于某种原因，大多数Isabelle教程和书籍都将重点放在程序分析（列表、树、递归函数）或基本命题/一阶逻辑上，其中的练习基本上可以通过

（inclut_tac“xs”）

和几个apply语句来解决

然而，通过翻阅一页又一页现有的伊莎贝尔理论，我找到了如何定义某些东西的方法。在这种情况下，我定义了序列的极限：

theory Exercises
  imports Main "Isabelle2019.app/Contents/Resources/Isabelle2019/src/HOL/Rat"
begin

definition limit :: "(nat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
  where limit_def: "limit sequence l = (∃(d::nat). ∀(e::nat)≥d. ∀(ε::rat). abs((sequence d) - l) ≤ ε)"

end

然后我试图证明

lim 1/n-->0

。（很抱歉，Latex对堆栈溢出不起作用）

我想到的证明很简单：给我一个

epsilon

，然后我会给你一个

d

，然后

1/d

。然而，在完成了几个最基本的步骤后，我被卡住了。我能得到一个关于如何完成这个证明的提示吗

lemma limit_simple: "limit (λ (x::nat). (Fract 1 (int x))) (rat 0)"
  unfolding limit_def
proof
  fix ε::rat
  obtain d_rat::rat where d_rat: "(1 / ε) < d_rat" using linordered_field_no_ub by auto
  then obtain d_int::int where d_int: "d_int = (⌊d_rat⌋ + 1)" by auto
  then obtain d::nat where "d = max(d_int, 0)"
end

引理极限很简单：“极限（λ（x：：nat）。（fract1（intx）））（rat0）” 展开极限 证明 固定ε：：大鼠 获取d_rat：：rat，其中d_rat:“（1/ε）

---

从这个证明的第一行可以看出，我已经在努力说服伊莎贝尔，对于每一个有理的ε，有一个大于1的自然数，首先，你对极限的定义是错误的。你把量词的顺序弄错了一点。我会这样写：

definition limit :: "(nat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
  where "limit sequence l = (∀ε>0. ∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε)"

下面是如何证明你想要的东西：

lemma limit_simple: "limit (λ(x::nat). 1 / of_nat x) 0"
  unfolding limit_def
proof (intro allI impI)
  fix ε :: rat assume "ε > 0"
  obtain d_rat::rat where d_rat: "1 / ε < d_rat" using linordered_field_no_ub by auto
  define d where "d = nat (⌊d_rat⌋ + 1)"

  have "d_rat ≤ of_nat d"
    unfolding d_def by linarith

  from ‹ε > 0› have "0 < 1 / ε" by simp
  also have "1 / ε < d_rat" by fact
  also have "d_rat ≤ of_nat d" by fact
  finally have "d > 0" by simp

  have "d_rat > 0" using ‹1 / ε > 0› and d_rat by linarith

  have "∀e≥d. ¦1 / of_nat e - 0¦ ≤ ε"
  proof (intro allI impI)
    fix e :: nat
    assume "d ≤ e"
    have "¦1 / rat_of_nat e - 0¦ = 1 / rat_of_nat e" by simp
    have "d_rat ≤ rat_of_nat e"
      using ‹d ≤ e› and ‹d_rat ≤ of_nat d› by simp
    hence "1 / rat_of_nat e ≤ 1 / d_rat"
      using ‹d ≤ e› and ‹d > 0› and ‹d_rat > 0›
      by (intro divide_left_mono) auto
    also have "1 / d_rat < ε"
      using ‹ε > 0› and ‹d_rat > 0› and d_rat by (auto simp: field_simps)
    finally show "¦1 / rat_of_nat e - 0¦ ≤ ε" by simp
  qed
  thus "∃d. ∀e≥d. ¦1 / of_nat e - 0¦ ≤ ε"
    by auto
qed

当然，您也可以简单地导入

HOL-Real\u Asymp.Real\u Asymp

，然后使用Real\u Asymp自动完成所有这些操作。）

你真的不应该根据从头开始做每件事有多困难来判断一个系统，特别是当有一个既定的惯用方法来做这些事情并且你正在积极地做一些不同的事情时。标准库及其习惯用法是该系统的重要组成部分

---

在证明助手中很难模仿纸笔式推理，特别是在渐近性这样的领域，在这里许多事情是“显而易见的”。幸运的是，有了一个好的库，这种推理确实可以达到某种近似。当然，如果你愿意，你可以做显式的ε-δ-推理，但这只会让你的生活更加困难。当我开始在Isabelle中研究极限时，我犯了同样的错误（因为ε-δ是处理极限的唯一正式方法，我知道，但我不了解所有那些奇特的过滤器材料），但当我开始更多地了解过滤器时，事情就变得更清楚、更容易，更自然。

我认为这里的很多困难来自于

nat

和

rat

之间的所有转换。更容易证明有理数上等价函数的极限：

definition limit_r :: "(rat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
  where "limit_r sequence l = (∀ε>0. ∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε)"

lemma limit_simple_r: "limit_r (λx. 1 / x) 0"
 unfolding limit_r_def
proof (intro allI impI)
  fix ε :: rat assume "ε > 0"

  hence "¦1 / (1/ε) - 0¦ ≤ ε"
    by auto

  hence "∀e≥(1/ε). ¦1 / e - 0¦ ≤ ε"
    using `ε > 0` by (auto simp add: divide_le_eq order_trans )

  thus "∃d. ∀e≥d. ¦1 / e - 0¦ ≤ ε"
    by blast
qed

然后可以将结果传输回序列：

definition limit :: "(nat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
  where "limit sequence l = (∀ε>0. ∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε)"

lemma to_rat_limit:
  assumes a1: "limit_r sequence_r l"
    and a2: "⋀n. sequence n = sequence_r (of_nat n)"
  shows "limit sequence l"
  unfolding limit_def proof (intro allI impI)
  fix ε :: rat
  assume "0 < ε"

  from assms obtain d where "∀e≥d. ¦sequence_r e - l¦ ≤ ε"
    using ‹0 < ε› using limit_r_def by blast  

  hence "¦sequence e - l¦ ≤ ε" if "e ≥ nat ⌈d⌉" for e
    using that a2 by (auto, meson of_nat_ceiling of_nat_mono order_trans)

  thus "∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε"
    by blast
qed


lemma limit_simple: "limit (λ(x::nat). 1 / of_nat x) 0"
  using limit_simple_r to_rat_limit by auto

定义限制：：“（nat⇒ 老鼠）⇒ 老鼠⇒ “布尔”
其中“极限序列l=(∀ε>0. ∃D∀E≥d、 α序列e-lα≤ ε)"
引理到老鼠极限：
假设a1：“限制序列”
和a2:“⋀n、 序列n=序列（n的）
显示“限制序列l”
展开极限证明（allI impI简介）
固定ε：：大鼠
假设“0<ε”
从ASMS获取d，其中“∀E≥d、 阿尔法序列≤ ε"
使用è0<ε›使用爆炸极限
因此“字母序列e-l字母≤ ε“if”e≥ 纳特⌈D⌉" 对于e
使用a2by（auto，介子的，介子的，单阶的，上限的）
因此“∃D∀E≥Dα序列e-lα≤ ε"
爆炸
量化宽松
引理limit_simple:“limit（λ（x:：nat）.1/of_nat x）0”
通过自动使用限制\u简单\u r到\u鼠\u限制

初学者教程之所以倾向于关注更多函数式编程风格的东西，是因为这更容易，而且你不会很快感到沮丧。此外，你是否知道Isabelle的库已经提供了大量的分析库，当然包括极限的概念？（此外，编写

1/of_nat x

比编写

Fract 1（int x）

容易得多。此外，我会直接使用

real

类型，而不是

rat

。出于某种原因，

rat

在Isabelle中不经常使用）嗨，谢谢你的评论。我知道伊莎贝尔已经包括了一个大型的分析库，但是如果我想在伊莎贝尔还没有的基础上建立证明，我必须同时解决伊莎贝尔的数学概念，这实际上是很难的。相反，我试图证明一些超基本的东西，这让我能够集中精力当然，这些极其基本的定理已经被建立起来了。哦！这比我想象的要长得多——考虑到一个“人类”是多么的短暂“甚至在数学入门教科书中也会有证明。我将尝试一行一行地跟随你的证明，并总是猜测下一行……我更新了我的答案，以更简洁的方式展示如何做到这一点。你的答案已经非常有用。昨天我还试图证明这一点（Sum_I）^2=Sum_i^3，这再次带来了一些问题，因为伊莎贝尔很慢，也不愿意统一涉及“1/4n^2（n+1）^2+（n+1）^3=1/4（n^4+6n^3+13n^2+12n+4）”等内容的长总和（我希望我从我的手写笔记中正确地复制了这一点）我想知道是否有可能写一篇关于证明上述基本数学定理和HM GM AM QM不等式的教程，使用两种方法，如《伊莎贝尔》中的Cauchy Schwarz和Lagrange乘数……这可能会降低入门门槛。就我印象而言，我与伊莎贝尔的经验是混合的艾德：什么同谋

definition limit_r :: "(rat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
  where "limit_r sequence l = (∀ε>0. ∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε)"

lemma limit_simple_r: "limit_r (λx. 1 / x) 0"
 unfolding limit_r_def
proof (intro allI impI)
  fix ε :: rat assume "ε > 0"

  hence "¦1 / (1/ε) - 0¦ ≤ ε"
    by auto

  hence "∀e≥(1/ε). ¦1 / e - 0¦ ≤ ε"
    using `ε > 0` by (auto simp add: divide_le_eq order_trans )

  thus "∃d. ∀e≥d. ¦1 / e - 0¦ ≤ ε"
    by blast
qed

definition limit :: "(nat ⇒ rat) ⇒ rat ⇒ bool"
  where "limit sequence l = (∀ε>0. ∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε)"

lemma to_rat_limit:
  assumes a1: "limit_r sequence_r l"
    and a2: "⋀n. sequence n = sequence_r (of_nat n)"
  shows "limit sequence l"
  unfolding limit_def proof (intro allI impI)
  fix ε :: rat
  assume "0 < ε"

  from assms obtain d where "∀e≥d. ¦sequence_r e - l¦ ≤ ε"
    using ‹0 < ε› using limit_r_def by blast  

  hence "¦sequence e - l¦ ≤ ε" if "e ≥ nat ⌈d⌉" for e
    using that a2 by (auto, meson of_nat_ceiling of_nat_mono order_trans)

  thus "∃d. ∀e≥d. ¦sequence e - l¦ ≤ ε"
    by blast
qed


lemma limit_simple: "limit (λ(x::nat). 1 / of_nat x) 0"
  using limit_simple_r to_rat_limit by auto