Java 解方程的算法

我在“算法和数据结构”课程中遇到了这个问题

你有一个方程x^2+s（x）+200·x=N，其中x和N是自然数，s（x）是数字x的位数之和

在输入上，我们有N和A，B，这样A≤B和A，B≤1,000,000,000. 你需要检查在区间[a，B]中是否有一个自然数x来解方程。如果找到，您需要返回该数字，否则返回-1

我通过使用一些数学和一点修改过的蛮力算法解决了这个问题。但是有没有更有效的（基于算法的）方法来解决这个问题

这是我的代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Range {
    
    static int proveri(long N, long A, long B) {
        long res = 0;
        long start = (long)((-200 + Math.sqrt(4*N + 4))/2);
        //System.out.println(start);
        for (long i = Math.max(A, start); i <= B; i++) {
            res = i * i + S(i) + 200 * i;
            if(res == N)
                return (int)i;
            if(res > N)
                return -1;
        }
        
        return -1;
    }
    
    static int S(long x) {
        int sum = 0;
        while(x > 0) {
            sum += x % 10;
            x /= 10;
        }
        return sum;
    }
    
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        int i,j,k;
        
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        
        long N = Long.parseLong(br.readLine());
        
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        long A = Long.parseLong(st.nextToken());
        long B = Long.parseLong(st.nextToken());
        
        int res = proveri(N, A, B);
        System.out.println(res);
        
        br.close();
        
    }
    
}

导入java.io.BufferedReader；
导入java.io.InputStreamReader；
导入java.util.StringTokenizer；
公共类范围{
静态整数验证（长N、长A、长B）{
长res=0；
长启动=（长）（-200+数学sqrt（4*N+4））/2）；
//系统输出打印项次（开始）；
for（long i=Math.max（A，start）；i N）
返回-1；
}
返回-1；
}
静态整数S（长x）{
整数和=0；
而（x>0）{
总和+=x%10；
x/=10；
}
回报金额；
}
公共静态void main（字符串[]args）引发异常{
int i，j，k；
BufferedReader br=新的BufferedReader（新的InputStreamReader（System.in））；
long N=long.parseLong（br.readLine（））；
StringTokenizer st=新的StringTokenizer（br.readLine（））；
long A=long.parseLong（st.nextToken（））；
long B=long.parseLong（st.nextToken（））；
int res=proveri（N，A，B）；
系统输出打印项次（res）；
br.close（）；
}
}

这里有一种方法，可以减少搜索数量

考虑方程anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0=0。 有理根定理指出，如果x=p/q是一个解， 然后p除以a0，q除以an

在你的例子中，an是1，a0等于S（x）-N。因此，我们知道任何解都必须除以S（x）-N

这就是ben75的秘诀所在。由于S（x）不能大于81，我们可以循环遍历S（x）的所有可能值，并分别求解。大概是这样的：

S（x）的每个可能值的

循环通过S（x）-N的每个因子x
检查它是否在A和B之间，是否其数字总和为S（x）
如果它是x*x+200x+S（x）=N的解。
如果是，请退回。
返回-1

还有一种非常巧妙的方法可以让你循环一个数的所有因子，但我会让你自己计算出来，因为这是一门课程。我的提示是看一个数的素数分解。

对于方程x^2+s（x）+200·x=N，考虑

x^2 + 200·x + (N - s(x)) = 0

对于具有整数解的a*x^2+b*x+c=0方程的解，我们需要：

b^2 - 4*a*c >= 0 and must be a perfect square

因此200^2-4*（N-s（x））>=0和一个平方或

10000>=（N-s（x））和（10000-（N-s（x））必须是平方。因此，平方值小于10000，因此最多可以有100个值需要检查。如果N的值正确，则可以小得多

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还要注意的是，由于N<10000，s（x）最多可以是36。这些应该会将范围缩小很多。

看看你可能使用的10^18数量级的数字的范围。如果我能给你任何实质性的改进，我们将发布更具算法性的方法。你可以跟踪s（x）随着时间的推移，从0开始。我没有时间发布代码，但这可以简化事情。只要观察从0开始递增的数字总和是如何变化的，你就会看到一个模式。@AndyG是的，我知道它们是连接的，但有时我仍然需要进行~100000000次检查。s（x）取决于x，你仍然可以称之为二次方程吗？它仍然可以被称为二次方程，因为二次方程的解决机制只是一个平方的完成。没有需要满足的自变量标准。谢谢你的解决方案。我认为这里缺少一些明显的算法，但看起来很简单这个问题一定涉及到一些数学问题。我的解决方案已经使用了类似的东西，所以我将保持这样。也要感谢@user1952500。

b^2 - 4*a*c >= 0 and must be a perfect square