Java：转换为3d空间的两个椭圆段的交点

我已将直线和椭圆的段（而非平面和椭球体）转换为三维空间，并需要计算两个给定段是否相交以及相交的位置

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我正在使用Java，但还没有找到一个库来解决我的问题，也没有找到一些可以用于我自己实现的算法。

对于测线交点测试，有几种方法可以解决。经典的方法是使用线性代数（即，求解线性矩阵系统），但从软件开发的角度来看，我更喜欢几何代数的方法，以普莱克坐标的形式，它只需要实现向量代数运算（即叉积和点积）在求解线性系统时，它们比矩阵运算更容易编码

为了比较起见，我将两者都显示出来，然后您决定：

线性代数方式

给定线段p受点P1和P2限制，线段Q受点Q1和Q2限制

线的参数化形式如下所示：

p（t）=P1+t（P2-P1）

Q（t）=Q1+t（Q2-Q1）

其中t是区间[0 1]中的实数

如果两条线相交，则以下等式成立：

p（t0）=Q（t1）

假设存在两个未知数字t0和t1。将上述方程展开，我们得到：

t0（P2-P1）-t1（Q2-Q1）=Q1-P1

我们可以通过在矩阵代数中表示上述方程来求解t0和t1：

A x=B

式中，A是3x2矩阵，第一列为向量坐标（P2-P1），第二列为向量坐标（Q2-Q1）；x是未知量t0和t1的2x1列向量，B是坐标为向量（Q1-P1）的3x1列向量

经典地，系统可以通过计算矩阵A的伪逆来求解，表示为A^+：

A^+=（A^T A）^-1 A^T

见：

幸运的是，Java中的任何矩阵包都应该能够非常轻松地计算上述计算，而且可能也非常高效

如果将A与其伪逆A^+相乘等于单位矩阵I，即（A^+==I，则存在唯一答案（交集），您可以通过计算以下乘积得到它：

x=A^+B

当然，如果你首先不能计算伪逆，例如，因为（A^ta）是奇异的（即行列式为零），那么就不存在交集

因为我们处理的是线段，所以当x0和x1都在区间[01]内时，交点在点p（x0）或Q（x1）处

其他解决方法

为了避免处理矩阵代数，我们可以尝试使用向量代数和替换法求解系统：

t0（P2-P1）-t1（Q2-Q1）=Q1-P1

t0=a+t1+b

t1=C•（Q1-（1-a）P1-a P2）/| C |^2

其中：

a=（P2-P1）•（Q1-P1）/（P2-P1）^2

b=（P2-P1）•（Q2-Q1）/（P2-P1）^2

C=b（P2-P1）-（Q2-Q1）

我还不能提供上述结果的几何直观

采摘器协调方式

给定线段p受点P1和P2限制，线段Q受点Q1和Q2限制

线p的拾取器坐标由一对3d向量（Pd，Pm）给出：

Pd=P2-P1

Pm=P1 x P2

式中，Pm是P1和P2的叉积。线Q的采摘器坐标（Qd，Qm）可以用完全相同的方法计算

线p和Q只有在共面时才能相交。Thr线P和Q为共平面iif：

Pd•Qm+Qd•Pm=0

其中（•）是dot产品。由于机器的精度有限，稳健测试不应检查零，而应检查少量。如果Pd x Qd=0，则线平行（此处0为零向量）。同样，应针对instamce进行稳健测试，以确保（Pd x Qd）的平方长度较小

如果两条线不平行，则它们是共面的，它们的交点（用Pucker的行话称为“相交”）将是点：

x=（（Pm•N）Qd-（Qm•N）Pd-（Pm•Qd）N）/（Pd x Qd）•N

其中N是任何坐标轴向量（即，（1,0,0）或（0,1,0）或（0,0,1）），使得（Pd x Qd）•N为非零

如果p和Q均未通过原点，则其采摘器坐标Pm和Qm将分别为非零，且以下sinpler公式将起作用

x=Pm x Qm/Pd•Qm

有关采摘器坐标的介绍，请参见：

有关一般的交点公式，请参见以下内容的“推论6”：

将椭圆前后转换为圆

我们总是可以把椭圆变成圆。椭圆有两个“半径”，称为半轴，你可以把它们想象成两个正交向量，一个大的称为大半轴，一个小的称为小半轴。可以对两个半轴向量应用非均匀缩放变换，使其大小相等，从而得到一个圆

我们通过椭圆的中心O定义椭圆“E”，中心O是一个3d点，椭圆的两个半轴A1和A2也是3d向量。椭圆平面的法向量N可通过其半轴N=A1 x A2的叉积计算，然后将其归一化为单位长度

现在假设有一个线性函数M，你可以用它将椭圆E变换（缩放）成一个圆C，半径等于短半轴，方法是将它应用于椭圆的半轴A1和A2以及椭圆的中心O

请注意，Elipse的圆心O和椭圆的法向量N不会因M而改变。因此M（N）=N和M（O）=O。这意味着圆位于同一平面上，并且与椭圆具有相同的位置C。线性函数M有一个对应的反函数M^-1，因此我们可以将圆的向量变换回