Java 递归方法的大O和大Omega

我的任务是试图找到给定Java方法的big-O和big-Omega，但不知道如何找到。我知道big-O给出了上界，big-Omega给出了下界，但是当我看一个程序时，更不用说递归程序了，我该如何准确地理解这个呢？ 提前谢谢你，这将对我的学习大有帮助

public static boolean goal(int i, int n){
    if(n == 0){
        if( i == 91) {
            System.out.println("i = " + i +", DONE!!!");
            return true;
        }
        else {
            return false;
        }

    }
    else if(i % 2 == 1){
        if(goal(i + 53,n - 1))
        {
            System.out.println("i = "+ i + ", step # " + n);
            return true;
        }
        else
            return false;
    }
    else {
       if( goal(i + 53,n - 1) || goal(i / 2,n - 1))
       {
            System.out.println("i = "+ i +", step # " + n);
            return true;
       }
       else
            return false;
    }
}

---

每次递归迭代，当n减1，递归在n达到0时停止，在最好的情况下，你的i总是奇数，所以你进入第一个分支，所以这个算法的下界是O（n）

上限是最坏的情况，是您最后的

else

分支，当您可以调用

goal

两次时，上限将是O（2^N）

goal（i，N）

在每次调用它时减少

N

最佳案例

i

总是很奇怪。然后，

goal（）

每次只进行一次（至少一次）递归调用，您将获得

T(n) = T(n-1) + Ω(1),           T(0) = Ω(1)

T(n) = 2⋅T(n-1) + O(1),         T(0) = O(1)

加起来等于Ω（n）

最坏情况

i

总是偶数。然后

goal（）

每次最多进行两次递归调用，得到

T(n) = T(n-1) + Ω(1),           T(0) = Ω(1)

T(n) = 2⋅T(n-1) + O(1),         T(0) = O(1)

这意味着

Σ_k=0,...,n 2^k⋅O(1) = 2ⁿ⁺¹⋅O(1) = O(2ⁿ) ∑k=0，…，n 2k⋅O（1）=2n+1⋅O（1）=O（2ⁿ)

---

注意：这不是很精确。例如，如果

i

为奇数，则在下一次调用中为偶数。如果

i

为偶数且

goal（i+53，n-1）

计算为

true

，

goal（i/2，n-1）

没有被调用。所以也许我们可以证明更好的上限和下限。

你有教科书吗？99%以上的时间，答案都在教科书中。这就是它的目的。