Java 如何用二次贝塞尔曲线逼近圆的八分之一？

在我使用Java编写的矢量图形程序中，理想情况下，任何形状都可以由Path2D类的修改形式表示，该类使用二次贝塞尔曲线。理想情况下，椭圆也可以表示为Path2D对象。互联网上有大量关于使用三次贝塞尔曲线近似圆的象限的文档，但是使用Path2D类，三次贝塞尔曲线是不可能的。我一直在使用Desmos试图找到圆的八分之一的近似值，半径

1

以

（0，0）

为中心的圆的中点（在两个控制点之间）约为

（0.993，0.412）

。当然，有一些无理数可以更精确地表示为使用平方根或三角函数的公式

---

我尝试使用公式

4*tan（pi/（2*n））/3

。要么这个公式不适用于八分之一，要么在我找到它的地方解释得很糟糕

t如果你说你在哪里找到的话会有所帮助-任意角度的公式（显然包括八分之一，只需插入π/4作为你的角度）与你展示的非常不同。找到真正的公式和解释，继续

二次曲线非常简单，因为控制点是端点切线的线性交点。因此，给定具有垂直切线的起点（1,0）（因为它是圆，这是圆的工作原理）和某个角度φ的终点（cos（phi），sin（phi）），以及切线（sin（phi），-cos（phi）），我们可以确定该曲线的控制点，如下所示：

Cx = cos(phi) - b * sin(phi)
Cy = sin(phi) + b * cos(phi)

其中：

    cos(phi) - 1
b = ------------
      sin(phi)

（这里的实际数学在上面的链接中解释）

插入PI/4来计算第一个八分之一意味着我们得到：

Cx = 1 (obviously; it's a vertical tangent, so the x coordinate is fixed)
Cy = sqrt(2) - 1

完成了：你不需要导出任何其他的值，因为所有其他的八分之一只是这些值的反射，你可以在纸上画一个圆，画线来显示八分之一，用它的坐标值标记第一个八分之一，然后去“哦，显然其他坐标是……”--上述公式也适用于半径为1的圆，但您知道如何乘法，因此您知道如何缩放值，以便它们与所需圆匹配

我很好奇为什么你想要二次曲线，因为它们客观上比三次曲线更糟糕。例如：您需要16个点来模拟具有二次八分之一的圆，而对于具有更高精度的四分之一立方，您只需要12个点

---

此外，即使你死心塌地只使用二次函数，你的软件用户也可能会转向其他软件。他们希望cubics能够提供给您，如果您的其他软件值得使用，他们会向您提出申请。为此制定计划，或者从一开始就支持二次和三次。毕竟，SVG等已经做到了。

如果您指的是java.awt.geom.Path2D，它确实支持带有curveTo（）方法的立方贝塞尔曲线。真的吗？如果是，怎么做？curveTo（）方法似乎不接受八个double（三次Bézier曲线每个点的x和y坐标）作为参数。curveTo（）只接受六个double作为最后三个控制点的（x，y）坐标。第一个控制点与“当前点”相同。类似地，quadTo（）只需要4倍（不是6倍），lineTo（）只需要2倍（不是4倍）。那么，如何使用curveTo（）定义三次Bezier曲线呢？假设有四个已知的x坐标和四个已知的y坐标。Path2D对象如何使用这些来生成三次Bezier曲线？我使用二次曲线是因为我在Java中使用的Path2D对象不允许三次Bezier曲线。至少我找不到任何方法。什么？当然有，它就在文档中：。您使用的是路径，因此如果您还没有坐标，请首先

移动到（x，y）

某个坐标（如果您是因为上一个路径命令而移动的，请不要移动到），然后调用

curveTo（c1x，c1y，c2x，c2y，x，y）

从上一个坐标移动到下一个坐标，在三次贝塞尔曲线上使用两个控制点。这确实有效。谢谢你的解释。