Javascript 方程无理性检验

我正在做一个数字数据淋浴，它显示一个数字的数据，比如偶数或奇数。 现在我停在无理数上，我如何测试它呢

大概是这样的：

alert(isIrrational(Math.sqrt(9)));

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这取决于上下文，但您可能想说，非常接近简单有理数的浮点数应该被标识为有理数，否则它们应该被标识为可能的无理数。你必须为非常接近和简单的有理数选择定义

对于相对较小的数字，比如绝对值小于100的数字，你可以说简单有理数是分母较小的数字，比如2/3，比如分母小于100的数字。你对非常接近的定义可能是差异的绝对大小很小，比如10^-6以下，或者你可能要求数字接近分母平方的1000倍。在大多数情况下，这就足够了

小分母数的有理逼近理论是称为丢番图逼近的数论的一部分。您可以使用的一个工具是数字的扩展，例如 pi=3+1/7+1/15+1/1+1/292+。。。e-1=1+1/1+1/2+1/1+1/1+1/1+1/4+1/1+1/1+1/6+。。。。您可以递归地计算这些，尽管您很快就会失去精度。当你截断这样一个表达式时，你会得到一个很好的有理逼近，比如pi~3，或pi~22/7，pi~355/113，或e~193/71。这些给候选有理数与小分母是密切的。简单连分式中的大系数意味着该数具有良好的有理逼近

某些有理数将不会通过这种方式被检测为有理数，例如，如果分母使用100的阈值，则为1/500。但是，您可以将1/3.0f标识为rational，并将Math.sqrt2.0*Math.sqrt8.0标识为Math.sqrt2.0，您将拒绝使用Math.sqrt2.0

我不知道是否有一种标准的方法来确定像6.73241 x 10^31这样的大浮点的复杂性。这甚至可以是一个整数，但你没有准确度来判断。你可能会说接近平滑整数的数字很简单。光滑意味着在素因子分解中没有大素数。虽然分解大数通常是困难的，但分解平滑数并不是那么糟糕，因为您只需要测试几个可能的素因子。当您甚至无法测试附近的数字是否平滑时，您可以将该数字的对数与小素数的对数组合进行比较。这可能意味着一个大素数不会被识别为一个有理数，但如果你在意的话，记录设置的素数通常与平滑数相差1，例如2**57885161-1

在非常大的浮点数和小数之间，您可以使用某种复杂度度量，它结合了可能的分子的简单性和可能的分母的简单性。因此，对于介于10^6和10^9之间的数字，您可能会决定只允许分母最大为10，并且您可能会要求其中一个数字的差值小于10^-4

确定sqrtrational是否是非理性的相当简单。以下是如何：

用m和n个整数和互质将有理参数写成m/n，即gcdn，m=1。现在假设存在m/n的有理平方根r。如果r=s/t，带有s和t整数和互质，我们将得到：

s^2/t^2 = rˆ2 = m/n

或

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特别地，s*s会除以m*t*t，因为s和t没有公共素数，s*s实际上会除以m。换句话说，我们会有1s*s这是一种可能性。第一步是找到下一个最小和最大的浮点值，这是导致prevFloat和nextFloat的各种赋值。在than之后，我们逐步遍历分母低于某个阈值的所有可能的有理数，在浮动之间寻找适合的对象。如果在用完潜在分母之前找不到分数，它会报告NaN。该函数最终在OmaxDenom中运行

函数为有理数{ var maxDenom=1000， 符号=数字<0？-：+， absVal=Math.absnumber， 整数=Math.floorabsVal， 分数部分=absVal整数， asBinary=SECTILPART.toString2， prevAsBinary=asBinary.replace/10*$/，函数匹配{ 返回0+Arraymatch.length.join1； }, nextAsBinary=asBinary.replace/01*$/，functionmatch{ 返回1+Arraymatch.length.0； }, prevFloat=parseFloatprevAsBinary，2， nextFloat=parseFloatnextAsBinary，2， 分子=0；

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对于var分母=1；分母，所有IEEE浮点数都是有理数。sqrt2.0返回平方为2的无理数的近似值。0@dmuir所以你想确定近似值是否有一个合理的分母，比如1/3v.54608393/38613965~√2.这实际上是

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一个非常有趣的问题，如果你把它表述为，给定一个有理数x，sqrtx是有理的还是无理的？当然，由于浮点值都是有理的，所以计算Math.sqrtx之类的数值近似值是没有意义的；你必须看看x的性质，回答这个问题而不必进行计算。我推测，当x是一个整数时，如果sqrtx不是一个可以用多种方法确定的整数，那么sqrtx是无理的。但我可能弄错了，你会想看看细节的。@Robert Dodier:是的，唯一素数分解扩展到有理数。如果a/b是有理数而不是整数，那么a/b^2是有理数而不是整数，因为在素数分解中有一些素数的负偶数指数。所以，只有有理数的平方的整数是整数的平方。我不明白你为什么要测试多个候选者。如果有理数的表示形式是m/n，m和n为正，互质，那么这只是有理数的平方，如果m和n为平方。测试整数是否是平方很容易。你不需要考虑m和n。如果给你一个m/n的有理数，它可能不是互质的，你可以通过除以GCD将其降到最低，这很容易用欧几里德算法找到，而欧几里德算法同样不需要分解m和n。还要注意，我修正了%的用法，因为我写了d*d%m而不是m%d*d。@DouglasZare极好的问题。你是对的。我之所以采用这种方法，是因为它可以很容易地推广到高次方程。事实上，我在这里使用的解决x^2-m/n=0的相同技术可以很容易地适用于任何多项式px=0的一般情况，前提是px的所有系数都是有理数。这都假设OP只对测试平方根是否有理感兴趣。如果他通过其他方式得到这个号码，这是行不通的。@Teepeemm。正当但还有什么别的办法？比如说，如果你得到一个浮点数，你就无法知道它是否代表了其他的量。您必须提供数字的结构，以确定其合理性。

n * s * s = m * t * t

m * s * s = n * t * t

`d = 1` Yes, `100 % (1 * 1) = 0`
`d = 2` Yes, `100 % (2 * 2) = 0`
`d = 3` No, `100 % (3 * 3) = 1`
`d = 4` No, `100 % (4 * 4) = 4`
`d = 5` Yes, `100 % (5 * 5) = 0`
`d = 6` No, `100 % (6 * 6) = 28`
`d = 7` No, `100 % (7 * 7) = 2`
`d = 8` No, `100 % (8 * 8) = 36`
`d = 9` No, `100 % (9 * 9) = 19`
`d = 10` Yes, `100 % (10 * 10) = 0`
End: `11 * 11 > 100`.

`d = 1`, Yes
`d = 2`, No (remainder = 1)
`d = 3`, Yes
`d = 4`, No (remainder = 1)
`d = 5`, No (remainder = 6)
`d = 6`, No (remainder = 9)
`d = 7`, No (remainder = 32)
`d = 8`, No (remainder = 17)
`d = 9`, Yes
End: `10 * 10 > 81`.

(1, 1), (2, 1), (5, 1), (10, 1)
(1, 3), (2, 3), (5, 3), (10, 3)
(1, 9), (2, 9), (5, 9), (10, 9)