Linear programming 或工具-使决策变量彼此尽可能接近，并尽可能远离边界

我有一个线性规划问题，我无法找到我想象中的正确目标函数。这是：

a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ Q+

Decision variables:
x: [a1, a2], y: [b1, b2]

Constraints:
(1 - c1) * y >= (1 + c2) * x

作为目标，我试图使x和y尽可能接近，使x尽可能远离a1，使y尽可能远离b2

我目前的目标函数是这样的：

max x - a1 + b2 - y

不幸的是，很多时候，这个目标函数要么将x设置为a1，要么将y设置为b2，但正如我所说的，我需要x和y彼此靠近。你能帮我建立正确的方法吗？谢谢

作为参考，以下是我用Python和/或工具编写的代码：

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver("GLOP")

x = solver.NumVar(lb=a1, ub=a2, name="X")
y = solver.NumVar(lb=b1, ub=b2, name="Y")

solver.Add(constraint=(1 - c1) * y >= (1 + c2) * x)

solver.Maximize(x - a1 + b2 - y)

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听起来你想要的是两个目标的组合：

最大化x和y，使其远离边界，以及

最小化x和y之间的增量大小

有很多方法可以重新表述这一点。这是一个留在LP内的

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您可以通过添加一个非负数量ε来实现第一部分，该ε将是您试图摆脱的所有约束的一部分，

l而不试图准确理解您正在做什么，通常的方法imho将包含一些绝对值线性化（或者更好的方法：二次目标）。所以我猜你想要的是：
max abs（x-a1）+abs（y-b2）-（abs（x-y））
。这（除了潜在的权重因素）在我看来是合理的。现在剩下的障碍是制定
abs
。这种情况看起来很糟糕，因为你需要最大化（正）abs值，这不允许自然线性化。您可以将其表述为MILP，但是
GLOP
无法解决它（我猜只有LP），因此最简单但仍然不太有趣的方法是实现上述目标+基于MILP的abs线性化（请参阅）。从优化的角度来看，这项任务对于那些您期望的解算器来说可能更复杂（凸性！）。
max epsilon 
w.r.t.
epsilon >= 0
a1 + epsilon <= x <= a2 - epsilon
b1 + epsilon <= y <= b2 - epsilon
(1 - c1) * y >= (1 + c2) * x

delta >= x - y >= -delta

max d1*epsilon - d2*delta  (for d1, d2 in Q+)