Logic Coq：在归纳类型上定义两个以上相互递归的函数

我用两种不同的方法定义了归纳类型事件上的三个相互递归函数：使用和关键字和修复关键字，但是，Coq抱怨主参数和参考。。。分别在…中找不到。 功能的两种实现方式如下所示：

Require Import List.

Parameter max: list nat -> nat.
Inductive event : Type := node: list event -> event. 
Parameter eventbool : forall (P:event->Prop) (e:event), {P e} + {~ P e}.
Definition event_sumbool_b (e: event) (p: event -> Prop) : bool :=
  if eventbool p e then true else false.

Fixpoint parentround (e: event) : nat :=
  match e with
 | node l =>  max (rounds l)
 end

 with rounds l := 
   match l with 
   | nil => 0::nil 
   | h::tl => round h:: rounds tl
   end 

 with round e := 
   if event_sumbool_b e roundinc then parentround e + 1 else parentround e

 with roundinc e :=
  exists S:list event, (forall y, List.In y S /\ round y = parentround e). 

Fixpoint parentround (e: event) : nat :=

 let round := 
   ( fix round (e: event) : nat := 
      if event_sumbool_b e roundinc then parentround e + 1 else parentround e
   ) in

 let roundinc := 
   ( fix roundinc (e: event) : Prop :=
     exists S:list event, (forall y, List.In y S /\ round y = parentround e)
   ) in

 match e with
 | node l =>  max (rounds l)
 end

 with rounds l :=
   match l with 
   | nil => 0::nil 
   | h::tl => round h:: rounds tl
   end. 

Coq抱怨对轮的递归调用的主参数等于“h”而不是“tl”。即使调用轮中的h是e的子项。按照中的想法，我用以下内容替换了parentround：

Require Import List.

Parameter max: list nat -> nat.
Inductive event : Type := node: list event -> event. 
Parameter eventbool : forall (P:event->Prop) (e:event), {P e} + {~ P e}.
Definition event_sumbool_b (e: event) (p: event -> Prop) : bool :=
  if eventbool p e then true else false.

Fixpoint parentround (e: event) : nat :=
  match e with
 | node l =>  max (rounds l)
 end

 with rounds l := 
   match l with 
   | nil => 0::nil 
   | h::tl => round h:: rounds tl
   end 

 with round e := 
   if event_sumbool_b e roundinc then parentround e + 1 else parentround e

 with roundinc e :=
  exists S:list event, (forall y, List.In y S /\ round y = parentround e). 

Fixpoint parentround (e: event) : nat :=

 let round := 
   ( fix round (e: event) : nat := 
      if event_sumbool_b e roundinc then parentround e + 1 else parentround e
   ) in

 let roundinc := 
   ( fix roundinc (e: event) : Prop :=
     exists S:list event, (forall y, List.In y S /\ round y = parentround e)
   ) in

 match e with
 | node l =>  max (rounds l)
 end

 with rounds l :=
   match l with 
   | nil => 0::nil 
   | h::tl => round h:: rounds tl
   end. 

它现在抱怨缺少roundinc的定义

请帮助我定义这三个相互递归的函数parentround、round和roundinc

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编辑定义中有第四个函数对进行轮换，但到目前为止没有问题

根据我的经验，在类型

T

和

列表T

上定义相互作用确实很困难。我记得在Coq俱乐部上有一篇关于这个主题的帖子，我必须再次找到它

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“简单”的解决方案是定义一种相互感应类型，其中您可以同时定义

事件

和

事件列表

。但是，您将无法使用列表库…

对于我来说，计算出您想要计算的内容有点困难，我将从以下内容开始：

From mathcomp Require Import ssreflect ssrbool eqtype ssrnat seq choice fintype.
From mathcomp Require Import bigop.

Definition max_seq l := \max_(x <- l) x.

Inductive event : Type :=
  node : seq event -> event.

Fixpoint round_lvl (e : event) : nat :=
  (* XXX: Missing condition *)
  let cond_inc x := round_lvl x in
  match e with
  | node l => max_seq (map cond_inc l)
  end.

来自mathcomp的

要求导入ssreflect ssrbool eqtype ssrnat seq choice fintype。
从mathcomp需要导入bigop。
定义max_seq l:=\max_x（事件）。
定点圆形（e:事件）：nat:=
（*XXX：缺失条件*）
设cond_inc x:=圆形_lvl x in
匹配
|节点l=>最大顺序（映射条件）
结束。

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但是我在解析存在条件的含义时遇到了困难。我建议您先尝试在不使用Coq代码的情况下表达问题，然后可能会出现一个解决方案。

在文章的链接中有一个方法是共享的，但是，它适用于两个相互递归的函数。问题是，将其推广到两个以上的函数。您的建议方法将使证明变得困难，因为我们将无法使用库中与列表相关的引理。顺便说一句，您的

round

函数存在一个问题：它不会在

e

的子项上调用

parentround

，而是直接在

e

上调用。我认为这是不允许的。此外，在

roundinc

中，调用

round y

不是递减的，它应该类似于

round l

其中

e=node l

@Vinz函数

round

是从

rounds

中调用的，其中

e

的子项（即

h

）被传递（在

round

中重命名

e

没有区别）当它从

roundinc

内部调用时，正如您所指出的，

y

并不是递减的。实际上，真正的函数是在

y

和

e

上使用复杂谓词

stronglysee

，其中包括

y

是

e

的子事件。此外，现在的问题是：即使我们包含在

roundinc

中，Coq并不自动理解

y

确实是

e

的一个子项。