Math 当“项”非常小时，计算log（exp（项）之和）

我想计算log expA1+expA2。 下面的公式

 log(exp(A1) + exp(A2) ) = log[exp(A1)(1 + exp(A2)/exp(A1))] = A1 + log(1+exp(A2-A1)) 

在A1和A2较大且数值为expA1=Inf或expA2=Inf时有用。 此线程中将讨论此公式-> . 当A1和A2的角色被替换时，公式是正确的

我关心的是当A1和A2非常小的时候。例如，当A1和A2为：

 A1 <- -40000
 A2 <- -45000

使用上述公式得出：

 A1 + log(1 + exp(A2-A1))
 [1] -40000

这是A1的值。 将上述公式与A1和A2的翻转角色进行伊辛，得出：

A2 + log(1 + exp(A1-A2))
[1] Inf

三个值中哪一个最接近logexpA1+expA2的真实值？是否有可靠的方法来计算logexpA1+expA2，当A1、A2较小且A1、A2较大时，可以使用该方法

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提前感谢您

您应该使用更精确的方法来进行直接计算

“当[它们]很大时”是没有用的。当差值为负值时，它很有用

当x接近0时，则log1+x约为x。因此，如果A1>A2，我们可以采用您的第一个公式：

log(exp(A1) + exp(A2)) = A1 + log(1+exp(A2-A1))

用A1+expA2-A1来近似，当A2-A1更负时，近似会更好。由于A2-A1=-5000，这比负值大得多，足以使近似值足够

---

不管怎样，如果y离零太远，无论哪种方式expy都会超过|下溢一个double并导致0或无穷大，这是一个double，对吗？你用什么语言？。这就解释了你的答案。但是由于expA2-A1=exp-5000接近于零，您的答案大约是-40000+exp-5000，这与-40000是无法区分的，因此一个是正确的。

您应该使用更精确的方法来进行直接计算

“当[它们]很大时”是没有用的。当差值为负值时，它很有用

当x接近0时，则log1+x约为x。因此，如果A1>A2，我们可以采用您的第一个公式：

log(exp(A1) + exp(A2)) = A1 + log(1+exp(A2-A1))

用A1+expA2-A1来近似，当A2-A1更负时，近似会更好。由于A2-A1=-5000，这比负值大得多，足以使近似值足够

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不管怎样，如果y离零太远，无论哪种方式expy都会超过|下溢一个double并导致0或无穷大，这是一个double，对吗？你用什么语言？。这就解释了你的答案。但是，由于expA2-A1=exp-5000接近于零，您的答案大约是-40000+exp-5000，这与-40000是无法区分的，因此其中一个是正确的。

在如此巨大的指数差异中，您可以在没有任意精度的情况下最安全的方法是

选择最大指数，使其为Am=maxA1，A2 所以：logexpA1+expA2->logexpAm=Am 对于这种情况，这是最接近的 在你的例子中，结果是-40000+delta 三角洲是非常小的东西 如果您想使用第二个公式，那么所有这些都将分解为计算log1+expA

如果A为正，则结果与实际情况相差甚远 如果A为负，那么它将截断为log1=0，因此得到与上面相同的结果 [附注]

您的指数差以^500为基数 单精度32位浮点可存储高达+/-2^+/-128的数字 双精度64位浮点可存储高达+/-2^+/-1024的数字 所以当你的基数是10或e时，这远远不够你所需要的 如果你有四倍的精度，那应该足够了，但是当你再次开始改变经验差时，你会很快达到现在的相同点 [PS]如果您需要更高的精度而不是任意精度

您可以尝试创建自己的数字类 具有数字的内部存储，如number=a^b 其中a，b是浮点数 但为此，您需要编写所有基本函数 *这很容易 +，-这是一场噩梦，但即使是这样，也可能有一些方法/算法

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在如此巨大的指数差异中，没有任意精度的情况下，最安全的方法是

选择最大指数，使其为Am=maxA1，A2 所以：logexpA1+expA2->logexpAm=Am 对于这种情况，这是最接近的 在你的例子中，结果是-40000+delta 三角洲是非常小的东西 如果您想使用第二个公式，那么所有这些都将分解为计算log1+expA

如果A为正，则结果与实际情况相差甚远 如果A为负，那么它将截断为log1=0，因此得到与上面相同的结果 [附注]

您的指数差以^500为基数 单精度32位浮点可存储高达+/-2^+/-128的数字 双精度64位浮点可存储高达+/-2^+/-1024的数字 所以当你的基数是10或e时，这远远不够你所需要的 如果你有四倍的精度，那应该足够了，但是当你再次开始改变经验差时，你会很快达到现在的相同点 [PS]如果您需要更高的精度而不是任意精度

您可以尝试创建自己的数字类 具有数字的内部存储，如number=a^b 其中a，b是浮点数 但为此，您需要编写所有基本函数 *这很容易 +是一场噩梦吗 但即使是这样，也可能有一些方法/算法