Math 计算'；肘部'；自动地和数学地计算曲线

曲线的一个示例如下所示。弯头点可能是x=3或4。 如何以数学方式自动计算曲线的弯头

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像这样的函数通常是根据其形状调用的。它们出现在通过正则化解决不适定问题时

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“弯头”点是曲线上具有最大绝对二阶导数的点。

您真正想要的是具有最大绝对二阶导数的点。当斜率远小于1时，可以用二阶导数近似（正如@ebo指出的），但情况并非总是如此。

您可能需要寻找具有最大绝对二阶导数的点，对于一组离散点

x[i]

，如您所见，可以用中心差近似表示：

二阶导数[i]=x[i+1]+x[i-1]-2*x[i]

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如上所述，您真正想要的是具有最大曲率的点，但是二阶导数就可以了，这个中心差异是二阶导数的一个很好的代理。

我创建了一个Python，它试图实现

要重新创建上述函数并检测最大曲率点，请执行以下操作：

x=范围（1,21）
y=[0.065,0.039,0.030,0.024,0.023,0.022,0.019,0.0185,0.0187，
0.016, 0.015, 0.016, 0.0135, 0.0130, 0.0125, 0.0120, 0.0117, 0.0115, 0.0112, 0.013]
kn=定位仪(
x,，
Y
曲线“=”凸“，
方向='递减'，
interp_方法='interp1d'，
)
印花（千牛膝）
7.

导入matplotlib.pyplot作为plt
plt.xlabel（'x'）
plt.ylabel（'f（x）'）
plt.xticks（范围（1,21））
plt.绘图（x，y，'bx-'）
plt.vlines（kn.knee，plt.ylim（）[0]，plt.ylim（）[1]，linestyles='虚线'）

更新
Kneed使用改进的样条拟合方法处理局部极小值，使用

interp\u method='polymone'

kn = KneeLocator(
    x,
    y,
    curve='convex',
    direction='decreasing',
    interp_method='polynomial',
)

print(kn.knee)
4

新的情节是：

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.xticks(range(1,21))
plt.plot(x, y, 'bx-')
plt.vlines(kn.knee, plt.ylim()[0], plt.ylim()[1], linestyles='dashed')

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您可以在此处询问：。但是在任何情况下，你都需要提供一些关于曲线是如何产生的，以及它可能的形状的上下文。这个问题有一个很好的答案。查看我发布的可能重复的链接。在曲线（）上找到最佳折衷点的解决方案是一个很好的建议。但是，此解决方案取决于曲线上的点。我接受@ebo和@Chris Taylor的建议，寻找具有最大绝对二阶导数的点，对于一组离散点x[I]，如我所见，用中心差近似：二阶导数（I）=x（I+1）+x（I-1）-2*x（I）；[max，idx]=max（二阶导数）；但m甚至不是1。提示：查看轴刻度。提供的数据有噪音。你需要更加小心。例如，您的建议可能会确定x=12或x=19。谢谢您的建议。我把你的想法作为我的解决方案。嗨，克里斯，你给了我一个很好的答案。你能告诉我这个解决方案是否有参考资料吗？我想起草一篇论文，所以我需要一份这个解决方案的参考资料。你能解释一下在什么条件下这个近似值是一个合理的估计，在什么条件下会有很大的偏差吗？“你真正想要的是曲率最大的点，但是二阶导数可以。”。关于曲率的点似乎是正确的，但二阶导数并不总是这样（也许永远也不会这样）：想想像exp（-x）这样的函数——它有点像肘部，但它的二阶导数没有任何事件与我们期望肘部位置的最大值相类似。是的，你的想法和克里斯·泰勒一样。谢谢。另一个问题是为什么“肘点”是曲线上具有最大绝对二阶导数的点？