Math 对齐IMU方向，然后获得相对旋转

我在两个物体上使用了两个相同类型的IMU（BHI160，即方向相对于北方，与北方对齐，IMU的局部y轴指向北方），比如说笔，如果我将两个物体平行放置，则两个IMU的z轴都向上，但一个IMU相对于另一个IMU绕z轴旋转180°

现在，如果我正确理解了这里的数学，我从IMU接收到的四元数数据是相对于北向的半角旋转，因此

q*north\u dir*q\u inv=IMU\u y\u轴

（使用

north_dir

和

IMU_y_轴

作为全局空间中的三维向量，或者为了进行此计算而使用纯四元数）

由于IMU的旋转，我假设当两支笔指向同一方向时，我应该能够计算出第二支笔的方向为

q_2=q_rot_z*q_1

，其中

q_rot_z

等于绕z轴旋转90°——根据直觉，如果我将两支笔指向北方，我会通过计算

q_rot_z*north_dir*q_rot_z_inv

因此，如果我想知道笔尖的相对旋转（比如，我需要从第一支笔的笔尖到第二支笔的笔尖的旋转），我需要计算

q_r=q_2*q_rot_z_inv*q_1_inv

，以便通过计算

q_r*q_1

从笔尖1到笔尖2，或者“之前”在这种情况下，绕z轴旋转无关紧要，我只需要像往常一样计算

q_r=q_2*q_1_inv

编辑：

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这基本上是的扩展，但我想知道相同的答案是否也适用于我的情况，或者已知的相对IMU旋转是否也需要包括在我的情况下

让我们一步一步地看一下。您有一个全球坐标系

G

，它与北向对齐。它实际上并不匹配ter如何对齐或是否对齐

然后，我们必须使用各自的坐标系

I1

和

I2

将坐标系作为从全局系统到局部系统的旋转。在下面，我们将使用符号

R[G->I1]

。这表示从

G

到

I1

的旋转。如果你用这个旋转变换

G

中的任何向量，你将在

I1

中得到相同的向量，用坐标系

G

表示。让我们用变换

T

表示向量

v

的变换°v。下图说明了这一点：

在这幅图中，我在变换中添加了一个平移（四元数当然不能表示）。这只是为了让点更清楚。因此，我们有一个向量

v

。同一个向量可以位于坐标系

G

或

I

。以及变换后的向量

R[G->I]°v

表示

I

在

G

坐标系中的

v

。请确保这实际上是从IMU获得的旋转。也有可能得到逆变换（这将是系统变换视图，而我们使用模型变换视图）.这在下面的推导中变化不大。因此，我将坚持第一个假设。如果你需要逆，只需相应地调整公式即可

如您所知，可以通过将

v

转换为纯四元数，计算

R*v*共轭（R）

，然后再次将其转换为向量（或在整个过程中使用纯四元数）来完成操作

R°v

现在这些笔开始发挥作用了。这支笔有一个固有的坐标系，你可以任意定义。从你的描述来看，似乎你想定义它，使笔的局部y轴指向笔尖。因此，每支笔都有一个额外的坐标系，具有相应的旋转

R[I1->P1]

和

R[I2->P2]

。我们可以连接旋转以找到全局方向（

*

是四元数乘法）：

按照您定义画笔局部坐标系的方式，我们知道

R[I1->P1]

是标识（局部坐标系与IMU对齐），而

R[I2->P2]

是围绕z轴旋转180°。因此，这简化为：

R[G->P1] = R[G->I1]
R[G->P2] = R[G->I2] * RotateZ(180°)

请注意，z旋转是在IMU的局部坐标系中执行的（它在右侧相乘）。我不知道您为什么认为它应该是90°。它实际上是180°的旋转

如果您想找到尖端之间的相对旋转，首先需要定义旋转应在哪个坐标系中表示。假设我们想在

P1

坐标系中表示旋转。然后，您想找到的是旋转

R[P1->P2]

，这样

R[G->P1] * R[P1->P2] = R[G->P2]

这解决了

R[P1->P2] = conjugate(R[G->P1]) * R[G->P2]

如果插入上述定义，您将得到：

R[P1->P2] = conjugate(R[G->I1]) * R[G->I2] * RotateZ(180°)

就这样

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很可能你想要的是稍微不同的东西。这就是为什么我解释得如此详细，所以你可以相应地修改计算。

哇，这是一个精心设计的答案-非常感谢！关于我对90°/180°旋转的困惑：据我所知，如果你想将向量v旋转180°使用四元数的特定轴，需要使用90°作为角度来构造四元数，因为

q*v*inv（q）

基本上应用此角度两次（导致180°旋转）我从未真正弄清楚的是，为什么这与直接四元数乘法不一致，因为我认为从技术上讲

R[P1->P2] = conjugate(R[G->I1]) * R[G->I2] * RotateZ(180°)