Math 在三维空间中的点之间插值以形成平滑曲面的简单方法

我试图想出一个简单有效的方法来创建一个光滑的曲面，它与许多给定的“样本”点相交

对于曲面上的任何X、Y点，我在4个方向的每个方向上识别最多4个采样点（X上的下一个较高点和较低点，然后是Y轴）。给定这一点，我想要一种方法来计算在4个采样点之间插值的Z值

当然，给定4个采样点中任意一个的X，Y位置，算法应该输出该点的Z值。还请注意，采样点可能少于4个

我猜4个采样点的Z值的函数，与到采样点的距离成反比，但我不知道怎么做

---

有没有人想到一个简单的方法来实现这一点？

使用catmull rom补丁

您可以使用双线性/双三次插值，但可以在三个方向上使用（分别为三线性/三次）。如果您了解这些插值形式是如何工作的，那么这是非常简单的。有关更多信息，请参见。

如果要对该点进行简单的线性插值，则中心点的Z值仅为4个相邻Z值的平均值，因为距离在Y和X上都是对称的

如果距离不是对称的，但中心点始终位于相同的X和Y线上，则可以计算Y和X插值，最终值是这些插值的平均值

---

所以Zc是：Zc=（Zx1+x*（Zx2-Zx1）/（x2-x1）+Zy1+y*（Zy2-Zy1）/（y2-y1））/2，其中x和y是距离x1和y1的距离。

您是在寻找曲面插值还是网格足够

对于曲面插值，我看到其他人建议使用三角剖分（例如，使用此：）

---

创建网格：我的一位同事使用热方程（）计算给定采样点以外像素的值。这产生了非常逼真的地形表面，并行化非常简单。

您可以通过从Catmull Rom样条线构造面片来实现这一点。这些样条线将击中每个控制点，并且它们在一阶导数中是连续的（尽管不是二阶导数）。我也发现他们非常容易相处。数学很简单，它们的行为直观，控制点略有变化

                 | 0   1   0    0 | | p[i−2] |
                 |−τ   0   τ    0 | | p[i−1] |
p(u) = 1 u u2 u3 | 2τ τ−3 3−2τ −τ | | p[i]   |
                 |−τ  2−τ τ−2   τ | | p[i+1] |

在最高级别，每个面片需要16个点（在数据集的边缘，可以在同一条样条曲线中使用角点和边点两次）

首先，需要对4x4矩阵中每行的点p[i][j]进行插值，以创建一组四个中间控制点q[i]。这是我的意思的一个粗略的ASCII草图

p00 p01 q0 p02 p03
p10 p11 q1 p12 p13
p20 p21 q2 p22 p23
p30 p31 q3 p32 p33

现在，您可以在这四个中间控制点之间进行插值，以在曲面上找到最终的花键点

跨越四个点。在本例中，使用p[i-2]和p[i+1]两侧的控制点在点p[i-1]和p[i]之间插值。u是介于0到1之间的插值因子。τ定义为样条曲线上的张力，它将影响样条曲线曲面与控制点的吻合程度

                 | 0   1   0    0 | | p[i−2] |
                 |−τ   0   τ    0 | | p[i−1] |
p(u) = 1 u u2 u3 | 2τ τ−3 3−2τ −τ | | p[i]   |
                 |−τ  2−τ τ−2   τ | | p[i+1] |

---

注意：如何在Stackoverflow的gui中显示这一点并不明显，但u2和u3应该分别表示u平方和u立方。

使用问题中建议的方案进行插值时存在一个问题，其中最近邻的一些子集是从分散的集合中选择的，结果不一定是连续的

想想看。假设我在（x，y）平面上沿着一条平滑、连续的路径移动。只要4个最近邻不变，插值将是平滑的，无论您选择如何定义。然而，在某个时刻，最近邻的子集会突然改变。此时，必须使插值在边界上保持一致。最好是使用自变量集的三角剖分。这确保了数据凸包内的连续（线性）插值。通过更多的工作，也可以通过三角剖分实现高阶插值

---

如果您碰巧对地质统计学感兴趣，径向基函数也通常用于插值或克里格。由于你正在研究基于距离的方法，考虑径向基函数。例如，搜索“反向多重二次插值”。

这称为三线性插值。热方程的事情是伟大的！