Math 浮点运算不稳定性

对于像f（x）=sqrt（1+x）-sqrt（1-x）这样的函数，我们会在一定的x值范围内得到不需要的结果。然而，我们可以分段重写方程，在某些情况下使用原始方程，在其他情况下使用新方程

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我该如何计算x值的范围，并为类似的问题找到一个替代表达式？（通过在线研究，我发现你不希望函数本质上“抵消”某些值，但这就是我们所要寻找的吗？例如，在f（x）=e^x-1中，我们总是在寻找f（x）=0吗？

不幸的是，这里没有黄金子弹：通常的方法是大量的实验和挑剔的错误分析。一些有用的工具：

• 任意精度的算术库，如MPFR，用于使用更高精度计算表达式，并将结果与正常精度进行比较。我喜欢使用Julia，因为它提供了一个支持通用数学运算符和函数的

  BigFloat

  类型
• 区间算法：提供错误的保证范围（因此不稳定的计算将爆发）。我个人体验过的唯一软件包是（参见）
• 使用一些奇特的技巧自动重写数值表达式以使其更稳定。我没有亲身体验过，但它看起来确实很酷。（巧合的是，他们主页上的示例与您的非常接近）

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这个问题写得太宽泛了。你能更具体一点吗？你能提供一个x的值范围吗，其中f（x）=sqrt（1+x）-sqrt（1-x）在使用浮点运算进行计算时给出的结果很差？为这些x值提供一个f（x）的替代表达式，以便不会出现“取消错误”。@Brainpower2049:small

x

有问题。例如，

f（1e-16）

给出

1.1102230246251565e-16

，而

f（1e-17）

给出

0.0

。数学上但数值上不相等的表达式是

2*x/（sqrt（1+x）+sqrt（1-x））

。这将在整个域中提供良好的数值结果

[-1.0，1.0]

。请注意，在双精度中，由于有限的数字表示，1.0+1e-17==1.0-1e-17==1.0

1+x

或

1-x

将降至

1

的

x

低于某个特定值，从而破坏您的演算。知道

x

有问题的范围，我将使用泰勒级数。在您的例子中，

x=0

类似。请注意，当成员对结果没有影响时，即没有达到更高的精度时，您将停止添加成员。我认为herbie需要更复杂（或更少的bug）才能发挥作用。输入OP的表达式给了我

1/8x^3/+（7/128x^5+x）

，但没有说明这个表达式在哪个领域可能有用。这很奇怪：我刚刚用一个小的web应用程序尝试了它，它给出了你在问题中建议的答案：

（x+x）/（sqrt（1+x）+sqrt（1-x））

，这很奇怪。我仍然得到了和以前一样的结果（泰勒级数展开约为0）。不过，看起来算法中有一些随机输入；也许这就是原因。