Math 如何理解周期查找下的离散傅里叶变换结果？

我正在学习如何使用离散傅里叶变换（DFT）来寻找关于

a^x mod（N）

的周期，其中

x

是一个正整数，

a

是任意素数，

N

是两个素数

p

和

q

的乘积

例如，

2^x mod（15）

的周期为4

>>> for x in range(8):
...     print(2**x % 15)
...

Output: 1 2 4 8 1 2 4 8
                ^-- the next period

DFT的结果如下：

（引自）

有4个尖峰，间隔为4个单位，我认为后4个表示周期为4

但是，当

N

为35且周期为12时

>>> for x in range(16):
...     print(2**x % 35)
...

Output: 1 2 4 8 16 32 29 23 11 22 9 18 1 2 4 8
                                       ^-- the next period

在这种情况下，有8个大于100的尖峰，其位置分别为0、5、6、11、32、53、58、59

位置序列是否意味着神奇的数字12？如何从右图中理解“12个均匀分布的尖峰”

（引用自）

请特别参阅和所有子链接

如您所见，

i

-DFT结果的第个元素（从

0

到

n-1

包括）表示Niquist频率

f(i) = i * fsampling / n

DFT结果仅使用这些正弦频率。所以，如果你的信号有不同的一个（甚至稍微不同的频率或形状），就会出现混叠

锯齿正弦波在DFT输出中产生两个频率，一个高一个低

任何锐利的边缘都会转换为许多频率（通常是像上一个例子一样的连续频谱）

f（0）

不是频率，表示直流偏移

最重要的是，如果DFT的输入是实域，则DFT结果是对称的，这意味着您只能使用结果的前半部分，因为第二部分只是镜像（不包括

f（0）

）这很有意义，因为在实域数据中不能表示大于

fsampling/2

的频率

结论:

您无法获得DFT使用的信号频率，因为有无数种方法可以计算此类信号。DFT是用正弦波重建信号，而你的信号肯定不是正弦波，所以结果与你的想法不符

通过正确选择DFT的

n

可以将奈奎斯特频率与您的频率进行匹配，但是，如果不知道前面的频率，您就不能这样做

可以从2个混叠中计算出奇异的正弦波频率，但是您的信号不是正弦波，因此无论如何，这不适用于您的情况

我将使用不同的方法来确定整数数字信号的频率：

计算信号直方图

数一数每个数字有多少

测试可能的频率

您可以强制执行所有可能的信号周期，并测试后续周期是否相同，但对于大数据而言，这不是最优的

我们可以使用直方图来加快速度。因此，如果您从直方图中查看大小

n

数据中频率

f

和周期

T

的周期信号的计数

cnt（ix）

，则信号周期应该是所有计数的公共除法

T = n/f
k*f = GCD(all non zero cnt[i])

其中

k

除以GCD结果。但是，如果

n

不是

T

的精确倍数，或者信号中有噪声或轻微偏差，则这将不起作用。然而，我们至少可以估计GCD并测试所有频率，这些频率仍然比暴力更快

因此，对于每个计数（不考虑噪音），应符合以下要求：

cnt(ix) = ~ n/(f*k)
k = { 1,2,3,4,...,n/f} 

因此：

如果你得到这样的信号：

1,1,1,2,2,2,2,3,3,1,1,1,2,2,2,2,3,3,1

然后直方图将是

cnt[]={0,7,8,4,0,0,0,0，…}

和

n=19

，因此对每个使用的元素在每个

n

周期内计算

f

，得出：

f(ix) = n/(cnt(ix)*k) 
f(1)  = 19/(7*k) = ~ 2.714/k
f(2)  = 19/(8*k) = ~ 2.375/k
f(3)  = 19/(4*k) = ~ 4.750/k

现在，实际频率应该是结果的公共分频器（CD），因此上下取整最大和最小计数（忽略噪声）将导致以下选项：

f = CD(2,4) = 2
f = CD(3,4) = none
f = CD(2,5) = none
f = CD(3,5) = none

所以现在测试频率（幸运的是，在这种情况下只有一个有效）是每19个样本2个周期，这意味着

T=~9.5

signal(t+ 0)=1,1,1,2,2,2,2,3,3,1,1,1,2,2,2,2,3,3,1
signal(t+ 9)=1,1,1,2,2,2,2,3,3,1 // check 9 elements
signal(t+10)=1,1,2,2,2,2,3,3,1,?   // check 10 elements

如您所见，信号（t…t+9）=信号（t+9…t+9+9）表示周期为

t=9

signal(t+ 0)=1,1,1,2,2,2,2,3,3,1,1,1,2,2,2,2,3,3,1
signal(t+ 9)=1,1,1,2,2,2,2,3,3,1 // check 9 elements
signal(t+10)=1,1,2,2,2,2,3,3,1,?   // check 10 elements