用matlab求解矩阵方程

我有一个类型为

c=Ax+By

的方程，其中

c

，

x

和

y

是维数为50000 x 1的向量，

A

和

B

是维数为50000 x 50000的矩阵

当

c

、

x

和

y

已知时，在Matlab中有没有办法找到矩阵

A

和

B

---

我有大约100000个

c

、

x

和

y

的样本

A

和

B

对所有人来说都是一样的。

让

X

成为所有100000

X

的集合（这样

X

的

i

第列等于

X\U i

-th向量）。
同样，我们可以将

Y

和

C

分别定义为

Y

s和

C

s的二维集合

您希望解决的是

A

和

B

的问题

C = AX + BY

你有2*50000^2个未知数（

A

和

B

的所有条目）和

numel（C）

方程

因此，如果数据向量的数量为100000，则只有一个解决方案（最多为线性相关样本）。如果您有超过100000个样本，您可以寻求最小二乘法解决方案

重写：

C = [A B] * [X ; Y]  ==>  [X' Y'] * [A';B'] = C'

所以，我想

[A' ; B'] = pinv( [X' Y'] ) * C'

在matlab中：

ABt = pinv( [X' Y'] ) * C';
A = ABt(1:50000,:)';
B = ABt(50001:end,:)';

如果我错了，请纠正我

编辑：
这里似乎有很多关于维度的小题大做。所以，我会尽量把它弄清楚

型号：有两个（未知）矩阵

A

和

B

，每个矩阵的大小为50000x50000（总共5e9个未知）。
观测是三组向量：（

x

，

y

，

c

）每个这样的向量有50000个元素（每个样本总共有150000个观测点）。基本的模型假设是，在该模型中，观测值由

c=Ax+by

生成。
任务：给定

n

观察值（即

n

三组向量{（

xi

，

yi

，

ci

）}任务是发现

A

和

B

）

现在，每个样本（

x_i

，

y_i

，

c_i

）在未知的

A

和

B

中导出50000个形式为

c_i=Ax_i+的方程如果样本数
n
大于100000，则存在50000*100000（>5e9）个以上的方程，且系统过约束

为了以矩阵形式编写系统，我建议将所有观测值叠加到矩阵中：


大小为50000 X
n
的矩阵
X
，其
i
第列等于观察到的
X\u i
大小为50000 x
n
的矩阵
Y
，其
i
第列等于观察到的
Y\u i
大小为50000 x
n
的矩阵
C
，其
i
第列等于观察到的
C\u i

利用这些矩阵，我们可以将模型写成：

C=A*X+B*Y

我希望这能把事情弄清楚一点

感谢@Dan和@woodchips的关注和启发性评论

编辑（2）：

将以下代码提交到。在这个例子中，我只处理了2个维度，而不是50000个维度，而不是
n=100000
观察值，我确定为
n=100
：

n = 100;
A = rand(2,2);
B = rand(2,2);
X = rand(2,n);
Y = rand(2,n);
C = A*X + B*Y + .001*randn(size(X)); % adding noise to observations 
ABt = pinv( [ X' Y'] ) * C';

检查地面真值模型（
A
和
B
）和恢复的
ABt
）之间的差异：

ABt - [A' ; B']

屈服

  ans =

   5.8457e-05   3.0483e-04
   1.1023e-04   6.1842e-05
  -1.2277e-04  -3.2866e-04
  -3.1930e-05  -5.2149e-05

接近于零。（请记住，观测值是有噪声的，而解是最小二乘法）。
从数学上讲这可能吗？除非我很蠢，否则听起来你的未知数比方程还多……丹：这是两个未知数，十万个方程。我想应该是这样：）。在我看来好像有500万个未知数？矩阵A和B的每个元素？如果A和B都是矩阵，并且都是未知的，那么它肯定是50亿个未知量（5e9）。这个问题是无法解决的，至少如果你想要一个唯一的答案。@Wli-不。它不是两个未知数。这是两个未知矩阵，每个大小为50000x50000，因此有5e9个未知。@woodchips：（1）请随意编辑
pinv
行，以便语法正确。（2） 更重要的是，如果有超过100000个
x
、
y
和
c
的三元组，为什么会有不止一个解呢？你有比方程更多的未知数。它是一个线性系统，所以问题是欠定的，所以有无穷多个解。稍后我会回来修理你的线路。@woodchips-你有未知数2*50000^2=5E9未知数（A

和B中的元素数）。你有

numel（C）

equations=50000（dim）x~100000（样本数）=5E9。如果样本数大于100000，则方程数大于未知数！这是一个过度确定的系统，没有无限多的解决方案。@woodchips-这个主题似乎对你来说非常敏感。你的评论很有攻击性。（1） 我仔细检查了Matlab中的

pinv

语法，我仍然相信我的代码是正确的。（2） 正如我在回答中已经指出的那样，如果有超过100000个样本（每个样本是50000个向量），那么系统就被过度确定了。请查看您的评论，并随时删除那些具有误导性的评论。pinv返回一个简单数组。再乘以另一个数组，它就是一个数组。不能将数组填充到[a'；B']这样的表单中。这是在MATLAB中失败的非法语法。