Matlab 邻接矩阵中的循环检测

设

A

为图

G=（V，E）

的邻接矩阵

A（i，j）=1

如果节点

i

和

j

与边连接，则

A（i，j）=0

我的目标是了解

G

是否是非循环的。循环的定义方式如下：

• i

  和

  j

  连接：

  A（i，j）=1

• j

  和

  k

  连接：

  A（j，k）=1

• k

  和

  i

  连接：

  A（k，i）=1

我实施了一个解决方案，该解决方案在矩阵中导航如下：

• 从边缘开始

  （i，j）

• 选择从

  j

  引出的边集

  O

  ，即

  j

  第

  A

• 以DFS方式导航

  O

• 如果此导航生成的路径之一指向节点

  i

  ，则检测到一个循环

显然，这个解决方案非常慢，因为我必须计算矩阵中的所有路径。如果

A

非常大，则所需的开销非常大。我想知道是否有一种方法可以导航邻接矩阵，以便在不使用DFS等昂贵算法的情况下找到循环

我想在MATLAB中实现我的解决方案

提前感谢,

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Eleanore.

如果A是有向或无向图G的邻接矩阵，那么矩阵

A^n

（即，A的n个副本的矩阵乘积）具有以下特性：第i行和第j列中的条目给出了长度为n的从顶点i到顶点j的（有向或无向）行走次数

例如，如果对于某个整数n，矩阵A^n至少包含一个非零对角项，则该图具有大小为n的循环

检查矩阵非零对角元素最简单的方法是计算矩阵

trace（A）=sum（diag（A））

（在我们的例子中，矩阵幂的元素总是非负的）

Matlab解决方案可以如下所示：

for n=2:size(A,1)
   if trace(A^n) ~= 0
      fprintf('Graph contain cycle of size %d', n)
      break;
   end
end

---

这种方法使用DFS，但非常有效，因为我们不会在后续DFS中重复节点

高层方法：

将所有节点的值初始化为

-1

从每个未探测的节点执行DFS，将该节点的值设置为从

0

开始的自动递增值

对于这些DFS，使用

previous node's value+i/n^k

更新每个节点的值，其中该节点是前一个节点的

i

子节点，

k

是探索的深度，跳过已探索的节点（检查更大的值除外）

因此，

n=10

的示例如下：

   0.1   0.11   0.111
   j   - k    - p
0 /    \ 0.12
i \ 0.2  l
    m

1   1.1
q - o
...

您还可以对每个节点使用

i/分支因子+1

，以减少数字的有效位数，但这需要额外的计算来确定

所以在上面我们做了一个来自

i

的DFS，它有两个孩子

j

和

m

m

没有孩子，

j

有两个孩子。。。。然后我们完成了

i

，并从下一个未探测的节点

q

启动了另一个DFS

每当你遇到一个更大的值，你就知道一个循环发生了

复杂性：

您最多检查一次每个节点，并且在每个节点上执行n次检查，因此复杂性是

O（n^2）

，这与查看矩阵中的每个条目一次相同（这是您做得最好的）

注意：

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我还要注意的是，除非是一个非常密集的图，否则a可能比邻接矩阵快。

根据对的观察，你需要计算a^n，一种稍微有效的方法是

n = size(A,1);
An = A; 
for ii = 2:n
     An = An * A; % do not re-compute A^n from skratch
     if trace(An) ~= 0
        fprintf(1, 'got cycles\n');
     end
end

---

这也是我发现的问题。我想，解释如下：

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当我们谈论循环时，隐含的意思是有向循环。当你考虑有向图时，你的邻接矩阵有不同的含义；这确实是一个长度为2的有向循环。所以，$A^n$的解实际上是针对有向图的。对于无向图，我猜想一个解决方案是只考虑矩阵的上三角版本（其余填充零）并重复该过程。让我知道这是否是正确答案。

我在回答这个问题时遇到了这个问题。对于未来的读者，我觉得我需要指出（正如其他人已经指出的那样）丹尼尔·阿索茨基的答案是错误的，并提供一种替代方法。Danil所指的定理是，A^k的（i，j）项计算长度k从i到j的行走次数，这里的关键是允许行走重复顶点。因此，即使a^k的对角线条目为正，条目正在计数的每次行走都可能包含重复的顶点，因此不会计为循环

反例：根据Danil的答案，长度为4的路径将包含一个4-循环（更不用说答案将暗示p=NP，因为它将解决Hamilton循环问题）

无论如何，这里有另一种方法。一个图是非循环的当且仅当它是一个森林，即它有c个分量和n-c边，其中n是顶点的数目。幸运的是，有一种方法可以使用L来计算组件的数量，它是通过将-a的（i，i）项替换为a的第i行中的项之和（即标记为i的顶点的度数）来获得的。然后我们知道G的分量数是n秩（L）（即0的重数作为L的特征值）

因此G有一个循环当且仅当边的数目至少为n-（n秩（L））+1。另一方面，通过握手引理，边的数目正好是迹（L）的一半。因此：

G是非循环的当且仅当0.5*trace（L）=秩（L）。等价地，G有一个循环，如果