Matlab 将有限差分模型从二维更改为三维会导致行为不稳定
我一直在写一个有限差分代码，用激光感生热成像来模拟和检测裂纹。裂纹由因子a和因子b实现，因子a和因子b使用鬼影点方法“阻尼”通过充气裂纹的热流。二维模型按预期运行，满足稳定性条件，一切正常。实验数据也很好地证明了这一点。只要复制粘贴就行了Matlab 将有限差分模型从二维更改为三维会导致行为不稳定,matlab,3d,numerical-methods,numerical-stability,discretization,Matlab,3d,Numerical Methods,Numerical Stability,Discretization,我一直在写一个有限差分代码，用激光感生热成像来模拟和检测裂纹。裂纹由因子a和因子b实现，因子a和因子b使用鬼影点方法“阻尼”通过充气裂纹的热流。二维模型按预期运行，满足稳定性条件，一切正常。实验数据也很好地证明了这一点。只要复制粘贴就行了 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 2D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Metho
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 2D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
clear all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
x = -XMAX/2:dx:XMAX/2; % Vektor mit x-Werten
y = -YMAX/2:dy:YMAX/2; % Vektor mit y-Werten
% Laserparameter
P = 8325; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 0.0002; % Zeitschritt [s]
NT = 400; % Anzahl der Zeitschritte
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
k = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 50E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (3*(EPS)+4*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY); % Allokation neue Temperaturen
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
T_OLD(i,j)=30;
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
if ((i>=40) && (i<=80) && (j==61))
q(i,j)=k*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j)=0;
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h=surf(x,y,T_OLD','EdgeColor','k'); % Plotting der Feldvariablen
set(gca,'fontsize',20)
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',20);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([-15E-3 15E-3 -15E-3 15E-3]) % Achsenskalierung
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 2D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]','FontSize',20)
ylabel('y in [m]','FontSize',20)
zlabel('Temperatur in [°C]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
if((j==69) && (i>=52) && (i<=68))
T_OLD(i,j) = T_NEW(i,j)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j)-...
a*T_NEW(i,j)+T_NEW(i-1,j)+b*T_NEW(i,j+1)+...
T_NEW(i,j-1))+dt*q(i,j);
else
T_OLD(i,j) = T_NEW(i,j)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j)-...
4*T_NEW(i,j)+T_NEW(i-1,j)+T_NEW(i,j+1)+...
T_NEW(i,j-1))+dt*q(i,j);
end
end
end
end
%% Programm Ende
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%2D-Wärmeleitungsgleichung麻省理工学院鬼点法和%%
%%限制器差%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%Leeren des工作区和des编辑器
clc；
清除所有；
格式长；
%%
%我在劳姆流血的消息和消息
NX=121；%x-Richtung的Schrittzahl
NY=121；%y-Richtung的Schrittzahl
XMAX=30E-3；%Abmessung x-Richtung[m]
YMAX=30E-3；%阿比松y-Richtung[m]
dx=XMAX/（NX-1）；%x-Richtung中的辉橄榄岩[m]
dy=YMAX/（NY-1）；%y-Richtung中的辉橄榄岩[m]
x=-XMAX/2:dx:XMAX/2；%维克托麻省理工学院x-Werten
y=-YMAX/2:dy:YMAX/2；%维克托麻省理工学院y-Werten
%激光参数计
P=8325；%雷瑟莱东[W]
距离=10E-3；%Abtaststrecke[m]
SPOTD=60E-6；%Spotdurchmesser[m]
α=0.07；%吸收系数
%施里特维滕酒店
dt=0.0002；%泽伊奇里特[s]
NT=400；%安扎尔德泽特酒店
%铝材
密度=2700；%二氯乙烷[kg*m^-3]
K_ALU=180；%Wärmeleitfähigkeit Alu[W*（m*K）^-1]
C=895；%斯佩兹。Wärmekapazität[J*K^-1]
k=k_ALU/（密度*C）；%温度指数[m^2*s^-1]
%材料航空公司
K_空气=0.025；%Wärmeleitfähigkeit-Luft[W*（m*K）^-1]
%Variablen für die鬼点法
δ=50E-6；%布雷特里斯[m]
每股收益=（（K_ALU）/（K_AIR）-1）*增量；%关系K_ALU、K_AIR、三角洲
a=（3*（每股收益）+4*dx）/（每股收益+dx）；%伪造者a
b=（dx）/（每股收益+dx）；%伪造者b
%Speicherallokation für模具温度矩阵
T_OLD=0（NX，NY）；%温度变化
T_NEW=零（NX，NY）；%温度分配
%最后一个矩阵
q=零（NX，NY）；%拉斯滕酒店
%%
%安方斯贝丁贡（布莱希特温度）
对于i=1:NX
对于j=1:NY
T_OLD（i，j）=30；
结束
结束
%%
%安装商Wärmestrom（Wärmestromdichte durch线扫描）
对于i=1:NX
对于j=1:NY
如果（（i>=40）和（i您的代码中有一个bug-在3D版本中，您引入了一个称为k的循环变量，用于z维度。该变量覆盖了以前定义的k系数。修复后，它在3D中与dt=1e-4 s一起工作。我刚刚将用作循环变量的k更改为kj。您可以选择一个更好的名称。实际上，这是向我们推荐的e循环变量的名称稍微长一点，不仅仅是i，j，k…-比如2或3个字母，而不是1个。另一个问题刚刚出现。由于负荷是作为瞬态热流而不是Neumann-B.C施加的，我必须处理边界。正如你在我的脚本中看到的，我假设域外微分的网格点是每个时间增量的环境温度。实际上这不起作用，因为k=NZ处的点也必须加热，这几乎不会发生。再次在2D中这样做没有问题，因为在z方向上没有梯度。那么你有什么建议如何修改我的代码吗？我想用t_NEW（I，j，k）代替t_AMB，这样t_NEW（i，j，k+1）等于T_NEW（i，j，k）。这给出了一个合理的图。但同样，我不知道这在数学上是否正确。下面是一个关于循环的稍微更正的代码
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 3D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
close all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
NZ = 33; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
ZMAX = 8E-3; % Abmessung z-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
dz = ZMAX/(NZ-1); % Schrittweite in z-Richtung [m]
x = 0:dx:XMAX; % Vektor mit x-Werten
y = 0:dy:YMAX; % Vektor mit y-Werten
z = 0:dz:ZMAX; % Vektor mit Z-Werten
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 1E-4; % Zeitschritt [s]
NT = 5E11; % Anzahl der Zeitschritte
% Laserparameter
P = 160000; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
kappa = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 10E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (5*(EPS)+6*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation neue Temperaturen
T_AMB = 30; % Umgebungstemperatur
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
T_OLD(i,j,k)= T_AMB;
end
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
if ((j>=40) && (j<=80) && (i==60) && (k==33))
q(i,j,k)=kappa*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j,k)=0;
end
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h = slice(x,y,z,T_OLD,... % Plotting der Feldvariablen
[],[],[8E-3]);
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',12);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([0 30E-3 0 30E-3 0 8E-3]) % Achsenskalierung
%alpha(0.5);
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 3D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]')
ylabel('y in [m]')
zlabel('z in [m]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
for k=1:NZ
if((j>=52) && (j<=68) && (i==65) && (k==NZ))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(b*T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((j>=52) && (j<=68) && (i==65) && (k<NZ) && (k>=15))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(b*T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==1)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_AMB)+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j<52))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j>68))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j>=52) && (j<=68) && (i~=65))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
else
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
end
end
end
end
end
%% Programm Ende
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%3D-Wärmeleitungsgleichung麻省理工学院鬼点法和%%
%%限制器差%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%Leeren des工作区和des编辑器
clc；
全部关闭；
格式长；
%%
%我在劳姆流血的消息和消息
NX=121；%Schrittzahl在x-Richtung中
NY=121；%Schrittzahl位于y-Richtung
NZ=33；%Schrittzahl位于y-Richtung
XMAX=30E-3；%Abmessung x-richtong[m]
YMAX=30E-3；%Abmessung y-richtong[m]
ZMAX=8E-3；%Abmessung z-richtong[m]
dx=XMAX/（NX-1）；%x-richtoung中的Schrittwite[m]
dy=YMAX/（NY-1）；%y-richtong中的Schrittwite[m]
dz=ZMAX/（NZ-1）；%z-richtong中的辉橄榄岩[m]
x=0:dx:XMAX；%Vektor麻省理工学院x-Werten
y=0:dy:YMAX；%Vektor mit y-Werten
z=0:dz:ZMAX；%Vektor mit z-Werten
%施里特维滕酒店
dt=1E-4；%Zeitschritt[s]
NT=5E11；%Anzahl der Zeitschritte
%激光参数计
P=160000；%Laserleistung[W]
距离=10E-3；%Abtaststrecke[m]
SPOTD=60E-6；%Spotdurchmesser[m]
%铝材
密度=2700；%Dichte[kg*m^-3]
K_ALU=180；%Wärmelei
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 3D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
close all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
NZ = 9; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
ZMAX = 2E-3; % Abmessung z-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
dz = ZMAX/(NZ-1); % Schrittweite in z-Richtung [m]
x = 0:dx:XMAX; % Vektor mit x-Werten
y = 0:dy:YMAX; % Vektor mit y-Werten
z = 0:dz:ZMAX; % Vektor mit Z-Werten
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 2E-10; % Zeitschritt [s]
NT = 5E11; % Anzahl der Zeitschritte
% Laserparameter
P = 8325; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
k = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 50E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (5*(EPS)+6*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation neue Temperaturen
T_AMB = 30; % Umgebungstemperatur
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
T_OLD(i,j,k)=T_AMB;
end
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
if ((j>=40) && (j<=80) && (i==60) && (k==9))
q(i,j,k)=k*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j,k)=0;
end
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h = slice(x,y,z,T_OLD,... % Plotting der Feldvariablen
[],[],[2E-3]);
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',12);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([0 30E-3 0 30E-3 0 2E-3]) % Achsenskalierung
% alpha(0.5);
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 3D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]')
ylabel('y in [m]')
zlabel('z in [m]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
for k=1:NZ
if((j>=45) && (j<=75) && (i==50) && (k<=9) && (k>=5))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+b*T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==1)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_AMB)+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==NZ)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
else
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(k*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
end
end
end
end
end
%% Programm Ende
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 3D-Wärmeleitungsgleichung mit Ghost-Point-Methode und %%
%% Finiter Differenzen %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% Leeren des Workspace und des Editors
clc;
close all;
format long;
%%
% Abmessungen und Schrittweiten des Bleches im Raum
NX = 121; % Schrittzahl in x-Richtung
NY = 121; % Schrittzahl in y-Richtung
NZ = 33; % Schrittzahl in y-Richtung
XMAX = 30E-3; % Abmessung x-Richtung [m]
YMAX = 30E-3; % Abmessung y-Richtung [m]
ZMAX = 8E-3; % Abmessung z-Richtung [m]
dx = XMAX/(NX-1); % Schrittweite in x-Richtung [m]
dy = YMAX/(NY-1); % Schrittweite in y-Richtung [m]
dz = ZMAX/(NZ-1); % Schrittweite in z-Richtung [m]
x = 0:dx:XMAX; % Vektor mit x-Werten
y = 0:dy:YMAX; % Vektor mit y-Werten
z = 0:dz:ZMAX; % Vektor mit Z-Werten
% Schrittweiten in der Zeit
dt = 1E-4; % Zeitschritt [s]
NT = 5E11; % Anzahl der Zeitschritte
% Laserparameter
P = 160000; % Laserleistung [W]
DIST = 10E-3; % Abtaststrecke [m]
SPOTD = 60E-6; % Spotdurchmesser [m]
% Materialdaten Aluminium
DENS = 2700; % Dichte [kg*m^-3]
K_ALU = 180; % Wärmeleitfähigkeit Alu [W*(m*K)^-1]
C = 895; % spez. Wärmekapazität [J*K^-1 ]
kappa = K_ALU/(DENS*C); % Temperaturleitfähigkeit [m^2*s^-1]
ALPHA = 0.07; % Absorptionskoeffizient
% Materialdaten Luft im Riss
K_AIR = 0.025; % Wärmeleitfähigkeit Luft [W*(m*K)^-1]
% Variablen für die Ghost-Point-Methode
delta = 10E-6; % Breite Riss [m]
EPS = ((K_ALU)/(K_AIR)-1)*delta; % Relation K_ALU, K_AIR, delta
a = (5*(EPS)+6*dx)/(EPS+dx); % Faktor a
b = (dx)/(EPS+dx); % Faktor b
% Speicherallokation für die Temperatur-Matrix
T_OLD = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation alte Temperaturen
T_NEW = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation neue Temperaturen
T_AMB = 30; % Umgebungstemperatur
% Speicherallokation für die Last-Matrix
q = zeros(NX,NY,NZ); % Allokation der Lasten
%%
% Anfangsbedingung (Blechtemperatur)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
T_OLD(i,j,k)= T_AMB;
end
end
end
%%
% Instationärer Wärmestrom (Wärmestromdichte durch Line-Scan)
for i=1:NX
for j=1:NY
for k=1:NZ
if ((j>=40) && (j<=80) && (i==60) && (k==33))
q(i,j,k)=kappa*ALPHA*((P)/(DIST*SPOTD))/(K_ALU);
else
q(i,j,k)=0;
end
end
end
end
%%
% Berechnung der Feldvariablen für jeden Zeitschritt
for it = 0:NT
clf; % Löscht aktuelle Figure
T_NEW = T_OLD; % setze T_NEW als T_OLD
h = slice(x,y,z,T_OLD,... % Plotting der Feldvariablen
[],[],[8E-3]);
colormap jet; % Farbschema der Farbskala
colorbar('location','eastoutside'... % Position und Größe Farbschema
,'fontsize',12);
shading interp % Interpolation zwichen Schritten
axis ([0 30E-3 0 30E-3 0 8E-3]) % Achsenskalierung
%alpha(0.5);
% Achsbeschriftungen
title({['LST for crack detection using finite difference 3D Heat-'...
'Diffusion'];['and ghost point method'] ;['time (\itt) = '...
,num2str(it*dt) 's']})
xlabel('x in [m]')
ylabel('y in [m]')
zlabel('z in [m]')
view(2); % Darstellung (1D, 2D, oder 3D)
drawnow; % Aktualisiert die Figure
pause(1E-40) % Pause zwischen einzelnen Figures
refreshdata(h) % Aktualisiert die Daten in Figure
% Explizites Finite-Differenzen-Verfahren (mittels zentralem DQ)
for i=2:NX-1
for j=2:NY-1
for k=1:NZ
if((j>=52) && (j<=68) && (i==65) && (k==NZ))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(b*T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((j>=52) && (j<=68) && (i==65) && (k<NZ) && (k>=15))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(b*T_NEW(i+1,j,k)-...
a*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif(k==1)
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_AMB)+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j<52))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j>68))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
elseif((k==NZ) && (j>=52) && (j<=68) && (i~=65))
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_AMB+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
else
T_OLD(i,j,k) = T_NEW(i,j,k)+(kappa*dt)/(dx^2)*(T_NEW(i+1,j,k)-...
6*T_NEW(i,j,k)+T_NEW(i-1,j,k)+T_NEW(i,j+1,k)+...
T_NEW(i,j-1,k)+T_NEW(i,j,k+1)+T_NEW(i,j,k-1))+...
dt*q(i,j,k);
end
end
end
end
end
%% Programm Ende