Matlab 矩阵核主成分分析

我们正在进行一个项目，并试图与KPCA取得一些成果

我们有一个数据集（手写数字），每个数字的前200个数字，因此我们完整的列车数据矩阵是2000x784（784是维度）。 当我们进行KPCA时，我们会得到一个带有新的低维数据集的矩阵，例如2000x100。然而，我们不了解结果。不应该；难道我们不能得到其他矩阵，比如我们对pca进行svd时得到的矩阵吗？我们用于KPCA的代码如下：

function data_out = kernelpca(data_in,num_dim)

%% Checking to ensure output dimensions are lesser than input dimension.
if num_dim > size(data_in,1)
    fprintf('\nDimensions of output data has to be lesser than the dimensions of input data\n');
    fprintf('Closing program\n');
    return 
end

%% Using the Gaussian Kernel to construct the Kernel K
% K(x,y) = -exp((x-y)^2/(sigma)^2)
% K is a symmetric Kernel
K = zeros(size(data_in,2),size(data_in,2));
for row = 1:size(data_in,2)
    for col = 1:row
        temp = sum(((data_in(:,row) - data_in(:,col)).^2));
        K(row,col) = exp(-temp); % sigma = 1
    end
end
K = K + K'; 
% Dividing the diagonal element by 2 since it has been added to itself
for row = 1:size(data_in,2)
    K(row,row) = K(row,row)/2;
end
% We know that for PCA the data has to be centered. Even if the input data
% set 'X' lets say in centered, there is no gurantee the data when mapped
% in the feature space [phi(x)] is also centered. Since we actually never
% work in the feature space we cannot center the data. To include this
% correction a pseudo centering is done using the Kernel.
one_mat = ones(size(K));
K_center = K - one_mat*K - K*one_mat + one_mat*K*one_mat;
clear K

%% Obtaining the low dimensional projection
% The following equation needs to be satisfied for K
% N*lamda*K*alpha = K*alpha
% Thus lamda's has to be normalized by the number of points
opts.issym=1;                          
opts.disp = 0; 
opts.isreal = 1;
neigs = 30;
[eigvec eigval] = eigs(K_center,[],neigs,'lm',opts);
eig_val = eigval ~= 0;
eig_val = eig_val./size(data_in,2);
% Again 1 = lamda*(alpha.alpha)
% Here '.' indicated dot product
for col = 1:size(eigvec,2)
    eigvec(:,col) = eigvec(:,col)./(sqrt(eig_val(col,col)));
end
[~, index] = sort(eig_val,'descend');
eigvec = eigvec(:,index);

%% Projecting the data in lower dimensions
data_out = zeros(num_dim,size(data_in,2));
for count = 1:num_dim
    data_out(count,:) = eigvec(:,count)'*K_center';
end

我们已经读了很多论文，但仍然无法掌握kpca的逻辑

任何帮助都将不胜感激

---

PCA算法：

---

PCA数据样本

计算平均值

计算协方差

求解

：协方差矩阵。 ：协方差矩阵的特征向量。 ：协方差矩阵的特征值

使用第一个第n个特征向量，可以将数据的维数降低到n维。您可以将其用于PCA，它有一个集成的示例，非常简单

---

KPCA算法：

---

我们在您的代码中选择一个内核函数，具体如下：

K(x,y) = -exp((x-y)^2/(sigma)^2)

为了在高维空间中表示您的数据，在该空间中，您的数据将很好地表示为进一步的分类或聚类，而这项任务在初始特征空间中可能更难解决。这个技巧也被称为“内核技巧”。看看这个数字

[步骤1]构造gram矩阵

这里因为gram矩阵是对称的，所以计算了一半的值，最后的结果是将计算出的gram矩阵及其转置相加。最后，如评论所述，我们除以2

[步骤2]规范化内核矩阵

这是通过代码的这一部分完成的：

K_center = K - one_mat*K - K*one_mat + one_mat*K*one_mat;

如注释所述，必须执行伪定心程序。想了解一下证据

[步骤3]解决特征值问题

For this task this part of the code is responsible.

%% Obtaining the low dimensional projection
% The following equation needs to be satisfied for K
% N*lamda*K*alpha = K*alpha
% Thus lamda's has to be normalized by the number of points
opts.issym=1;                          
opts.disp = 0; 
opts.isreal = 1;
neigs = 30;
[eigvec eigval] = eigs(K_center,[],neigs,'lm',opts);
eig_val = eigval ~= 0;
eig_val = eig_val./size(data_in,2);
% Again 1 = lamda*(alpha.alpha)
% Here '.' indicated dot product
for col = 1:size(eigvec,2)
    eigvec(:,col) = eigvec(:,col)./(sqrt(eig_val(col,col)));
end
[~, index] = sort(eig_val,'descend');
eigvec = eigvec(:,index);

[步骤4]更改每个数据点的表示形式

对于这项任务，这部分代码负责

%% Projecting the data in lower dimensions
data_out = zeros(num_dim,size(data_in,2));
for count = 1:num_dim
    data_out(count,:) = eigvec(:,count)'*K_center';
end

看看细节

PS：我鼓励您使用由此编写的代码，并包含直观的示例。

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PCA算法：

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PCA数据样本

计算平均值

计算协方差

求解

：协方差矩阵。 ：协方差矩阵的特征向量。 ：协方差矩阵的特征值

使用第一个第n个特征向量，可以将数据的维数降低到n维。您可以将其用于PCA，它有一个集成的示例，非常简单

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KPCA算法：

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我们在您的代码中选择一个内核函数，具体如下：

K(x,y) = -exp((x-y)^2/(sigma)^2)

为了在高维空间中表示您的数据，在该空间中，您的数据将很好地表示为进一步的分类或聚类，而这项任务在初始特征空间中可能更难解决。这个技巧也被称为“内核技巧”。看看这个数字

[步骤1]构造gram矩阵

这里因为gram矩阵是对称的，所以计算了一半的值，最后的结果是将计算出的gram矩阵及其转置相加。最后，如评论所述，我们除以2

[步骤2]规范化内核矩阵

这是通过代码的这一部分完成的：

K_center = K - one_mat*K - K*one_mat + one_mat*K*one_mat;

如注释所述，必须执行伪定心程序。想了解一下证据

[步骤3]解决特征值问题

For this task this part of the code is responsible.

%% Obtaining the low dimensional projection
% The following equation needs to be satisfied for K
% N*lamda*K*alpha = K*alpha
% Thus lamda's has to be normalized by the number of points
opts.issym=1;                          
opts.disp = 0; 
opts.isreal = 1;
neigs = 30;
[eigvec eigval] = eigs(K_center,[],neigs,'lm',opts);
eig_val = eigval ~= 0;
eig_val = eig_val./size(data_in,2);
% Again 1 = lamda*(alpha.alpha)
% Here '.' indicated dot product
for col = 1:size(eigvec,2)
    eigvec(:,col) = eigvec(:,col)./(sqrt(eig_val(col,col)));
end
[~, index] = sort(eig_val,'descend');
eigvec = eigvec(:,index);

[步骤4]更改每个数据点的表示形式

对于这项任务，这部分代码负责

%% Projecting the data in lower dimensions
data_out = zeros(num_dim,size(data_in,2));
for count = 1:num_dim
    data_out(count,:) = eigvec(:,count)'*K_center';
end

看看细节

PS：我鼓励您使用由此编写的代码，并包含直观的示例。

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PCA算法：

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PCA数据样本

计算平均值

计算协方差

求解

：协方差矩阵。 ：协方差矩阵的特征向量。 ：协方差矩阵的特征值

使用第一个第n个特征向量，可以将数据的维数降低到n维。您可以将其用于PCA，它有一个集成的示例，非常简单

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KPCA算法：

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我们在您的代码中选择一个内核函数，具体如下：

K(x,y) = -exp((x-y)^2/(sigma)^2)

为了在高维空间中表示您的数据，在该空间中，您的数据将很好地表示为进一步的分类或聚类，而这项任务在初始特征空间中可能更难解决。这个技巧也被称为“内核技巧”。看看这个数字

[步骤1]构造gram矩阵

这里因为gram矩阵是对称的，所以计算了一半的值，最后的结果是将计算出的gram矩阵及其转置相加。最后，如评论所述，我们除以2

[步骤2]规范化内核矩阵

这是通过代码的这一部分完成的：

K_center = K - one_mat*K - K*one_mat + one_mat*K*one_mat;

如注释所述，必须执行伪定心程序。对于