Matrix Coq矩阵操作

我试着在Coq中使用marices。我发现洛杉矶图书馆正是我所需要的，但作为Coq的新手，我无法找到证明有意义属性的方法

该库是，它定义了如下矩阵：

Definition Matrix (m n : nat) := nat -> nat -> C.

现在，项目中有一些工作示例，例如：

Definition V0 : Vector 2 := 
  fun x y => match x, y with 
          | 0, 0 => C1
          | 1, 0 => C0
          | _, _ => C0
          end.

（因此

V0

是列向量（1,0））

所以我尝试的第一件事是：

Definition test : Matrix 2 2 :=
  fun x y => match x, y with
          | 0, 0 => 0
          | 0, 1 => 1
          | 1, 0 => 2
          | 1, 1 => 3
          | _, _ => 0
          end.

Definition test2 : Matrix 2 2 :=
  fun x y => match x, y with
          | 0, 0 => 0
          | 0, 1 => 2
          | 1, 0 => 4
          | 1, 1 => 6
          | _, _ => 0
          end.

Lemma double : test2 = 2 .* test. Proof. solve_matrix. Qed.

这里没有运气。于是我就试着不列举这些案例：

Lemma testouille : test2 = 2 .* test.
Proof.
  autounfold with U_db.
  prep_matrix_equality.
  assert (x = 0 \/ x = 1 \/ x >= 2)%nat as X.
  omega.
  destruct X as [X|X].
  - { (* x = 0 *)
      subst.
      assert (y = 0 \/ y = 1 \/ y >= 2)%nat as Y.
      omega.
      destruct Y as [Y|Y].
      - { (* y = 0 *)
          subst.
          simpl.
          field.
        }
      - {
          destruct Y as [Y|Y].
          - { (* y = 1 *)
              subst.
              simpl.
              field.
            }
          - { (* y >= 2 *)
              subst. (* I can't operate for each y, recursions ?*)
              simpl.
              field.
            }
        }
    }
  - { 
      destruct X as [X|X].
      - { (* x = 1 *)
          subst.
          assert (y = 0 \/ y = 1 \/ y >= 2)%nat as Y.
          omega.
          destruct Y as [Y|Y].
          - { (* y = 0 *)
              subst.
              simpl.
              field.
            }
          - {
              destruct Y as [Y|Y].
              - { (* y = 1 *)
                  subst.
                  simpl.
                  field.
                }
              - { (* y >= 2 *)
                  subst. (* I can't operate for each y, recursions ?*)
                  simpl.
                  field.
                }
            }
        }
      - { (* x >= 2, I can't operate for each x, recursions ?*)
          subst.
          simpl.
          field.
        }
    } 
Qed.

---

但这也不起作用，Coq似乎无法猜测如果x大于1，那么

测试xy

为零。在这一点上，我有点缺乏想法。有人能来救我吗？

看起来像是

求解矩阵

只是不知道

test

和

test2

要展开什么

以下是两种可能的解决方案：

Lemma double : test2 = 2 .* test. Proof. unfold test, test2. solve_matrix. Qed.

Hint Unfold test test2 : U_db.

Lemma double' : test2 = 2 .* test. Proof. solve_matrix. Qed.

对于较长的证明，您必须实际销毁

y

两次，以便Coq可以在其上进行模式匹配（您可以使用

omega

来解决其他情况）。还有一种叫做destruct_m_eq的策略，可以帮你把事情分解成不同的案例。下面是引理的一个简短的手动证明：

Lemma testouille : test2 = 2 .* test.
Proof.
  autounfold with U_db.
  prep_matrix_equality.
  unfold test, test2.
  destruct_m_eq.
  all: lca.
Qed.

与此相关，我建议使用策略

lia

和

lra

解决整数和实数等式，并推荐使用派生策略

lca

解决复数等式。（

字段

在您的证明中的一些实例中似乎失败。）

对于QWIRE的矩阵库（由SQIR使用）的更轻松的介绍，我推荐，尽管它确实做了一些没有反映在QWIRE主分支中的更改

Lemma double : test2 = 2 .* test. Proof. unfold test, test2. solve_matrix. Qed.

Hint Unfold test test2 : U_db.

Lemma double' : test2 = 2 .* test. Proof. solve_matrix. Qed.

Lemma testouille : test2 = 2 .* test.
Proof.
  autounfold with U_db.
  prep_matrix_equality.
  unfold test, test2.
  destruct_m_eq.
  all: lca.
Qed.