Matrix 求解大型耦合微分方程组

我有一个耦合的常微分方程组

dx/dt=（A+Cúd（t）*B）*x

，
其中A和B为常数矩阵，C_d为对角线系数矩阵，根据积分变量的当前值平滑变化

方阵A和B由较小的60*60上三角矩阵或零矩阵组成。整个系统的尺寸约为2500*2500。A和B是稀疏的，约有10%的非零元素。对角线元素为负或零。主要的（物理）约束是x（t）的元素在积分过程中不允许变为负值

目前，我使用了一个“天真”的步骤求解器

x_（i+1）=A*x_i*dt_i+B*（C_d（t_i）*x_i）*dt_i+x_i

或者在CPU/GPU版本中

def solve_CPU(nsteps, dt, c_d, x):
    for step in xrange(nsteps): 
        x += (A.dot(x) + B.dot(x * c_d[step])) * dt[step]

def solve_GPU(m, n, nsteps, dt, c_d, cu_curr_x, cu_delta_x, cu_A, cu_B):
    for step in xrange(nsteps): 
        cubl.gemv(trans='T', m=m, n=n, alpha=1.0, A=cu_A,
                  x=cu_curr_x, beta=0.0, y=cu_delta_x)
        cubl.gemv(trans='T', m=m, n=n, alpha=c_d[step], A=cu_B,
                  x=cu_curr_x, beta=1.0, y=cu_delta_x)
        cubl.axpy(alpha=dt[step], x=cu_delta_x, y=cu_curr_x)

并利用一个特性，即步长

dt_i

，这可以通过一种方法计算出来，即在积分过程中x的元素总是>=0。根据近似量和设置，积分步数在25k和10M之间变化

我尝试了几种方法来优化通用硬件的性能：

• （未知）当使用ODEPACK的VODE解算器时，我不知道如何表达x>=0约束
• 使用英特尔MKL的（最慢）密集BLAS 2点积
• 在NVIDIA GPU上使用单精度立方体的（中等）密集BLAS
• （最快）使用CSR/CSC格式的SCIPY稀疏模块

代码是用Python编写的，可以通过Anaconda、Numba、Accelerate、Numpy等访问上述库。SCIPY的稀疏BLAS例程没有正确链接到Anaconda中的MKL，据我所知，cuSPARSE周围的Python包装器还不可用。我知道如何通过直接与cuSPARSE/C-MKL稀疏点积接口来提高性能，但仅此而已。如果模型发生变化，这个问题需要反复解决几十次，因此性能始终是一个问题。我不是这方面的专家，所以我不太了解预条件、因式分解定理等。是什么让我想到了我的问题：

---

有没有更优雅或更好的方法来解决这样的线性代数任务？

步长dt_i是否比函数C_d（t_i）的变化率小得多？如果是的话，一个更复杂的集成方案，它包含了约束，并且可以使用更长的时间步长。第二个问题：为什么不在计算后将任何负值剪裁为零？如果由于数值不精确而出现负值，并且您通过事先选择时间步长来解决此问题，结果将不会告诉您解决方案接近零的程度（因为数值不精确更大）。非常感谢向我指出函数C_d（t_i）的性质。我还没有尝试去寻找它的特性。它是日志中的一条线，因此不会缓慢变化。您的第二个问题：我尝试在VODE的解算器函数中对x向量进行封顶。结果是速度变慢了。我猜是因为VODE的错误估计程序被搞糊涂了？或者：如果你的意思是“计算完成后”=“计算完成后”，那么问题是方程是耦合的，本征模是重的，你的方程是线性的，因此，我并没有立即发现一个数学上的原因来解释为什么避免负的

x

值很重要——方程是耦合的，等等，这与解的准确性无关。您可以尝试在完成积分器时对值进行封顶（这样就不会弄乱被积函数的平滑度），然后将精度与其他方法进行比较。另外，如果你对能量守恒或其他物理量感兴趣，研究辛或变分积分器可能会很有用，它们具有精确的守恒性质。我试着忽略负值和解发散。该系统是粒子产生和衰变的级联方程。因此，负值表示负粒子数。因此，如果有更多的粒子衰变，它们就开始创造它们的母亲，这有点奇怪：）我们可以把这个系统看作一个更复杂的捕食者-食饵模型。系统是线性化的，因此选择太大的dt会导致线性化范围失效。解耦系统的自治解将是指数的，它永远不会变为零。我来看看你建议的积分类型。如果你能在问题形成的论文中添加引文，那可能会有所帮助。