Numpy 矩阵不是正定的，尽管它应该是正定的

我有一个矩阵

M

，其中

M.shape=（679512）

我想找到

M^T

的特征向量和特征值，它是共价矩阵，在数学上应该是正定的。我发现他们使用：

import numpy as np
v, w = np.linalg.eig(np.matmul(M, M.T))

然而，出于某种原因，我认为我的特征值/特征向量如下：

>>> v
array([ 1.17577206e+10+0.0000000e+00j,  1.05090161e+10+0.0000000e+00j,
        7.01098189e+09+0.0000000e+00j,  5.19451802e+09+0.0000000e+00j, 
    ...
    1.03985971e-12+0.0000000e+00j, -3.04194468e-13+6.9097571e-13j,
   -3.04194468e-13-6.9097571e-13j,  1.77363116e-13+0.0000000e+00j,
   -1.20885913e-13+0.0000000e+00j, -4.95627438e-14+0.0000000e+00j,
   -1.56456859e-16+0.0000000e+00j], dtype=complex64)

这怎么可能？难道

M^t

不应该是半正定的，只给出正的和实的特征值吗？如何得到非实特征值

def is_positive_def(x):
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)

“M^M不应该是半正定的，只给出正的和实的特征值吗？”如果你把“正的”改为“非负的”，那么是的，这在数学上是正确的。实际上，可以使用，而不是，它将返回实特征值和特征向量

请注意，在一些地方，您错误地陈述了该声明，并说M^T是正定的。这是不对的。若M有形状（679512），则679-512=167的特征值为0；M^T是半定的，不是

---

在特征值的数值计算中，

eig

或

eig

不会精确计算所有0的理论值。前167个特征值将接近零，数值误差可能导致其中一些值为负值。当我对一个随机M进行计算时（具体来说，

M=np.random.gamma（8，size=（679512））

，M^T的最大特征值约为2.227e7，最小的为-5.822e-10，最小的震级为3.881e-13。注意5.822e-10/2.227e7（即

np.abs（v.min（））/v.max（）

）大约是2.61e-17，所以所有这些小特征值相对于最大特征值实际上都是0。

我真的不知道确切的答案，但是考虑到所有的负值都非常小，我强烈怀疑这与数值舍入问题有关。最小特征值是

（-284.69064+0j）

你能给这个问题添加一个示例矩阵吗？你显示的所有负特征值都非常小，我在尝试使用

np.random.randn（630512）生成的随机数组时得到了相同的结果

@user545424编辑太大，有问题，但这里有一个文件-可以使用

np.load

加载。如果您可以使用易于创建的东西（即使用

np.random

或其他东西）复制它，那就太好了对你的问题的简短回答是，如果你知道你的矩阵是对称的，你应该使用

np.eigh

。