Numpy 与实空间卷积相比，FFT卷积的缺点是什么？

所以我知道FFT卷积比实空间卷积的计算复杂度要低。但是FFT卷积的缺点是什么

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内核大小是否总是必须与映像大小相匹配，或者是否有函数处理此问题，例如在pythonnumpy和scipy包中？那么抗锯齿效果呢

FFT卷积基于，其中规定给定两个函数

f

和

g

，如果

Fd（）

和

Fi（）

表示直接和反向傅里叶变换，

*

和

卷积和乘法，则：

f*g = Fi(Fd(d).Fd(g))

要将此应用于信号

f

和内核

g

，需要注意以下几点：

• f

  和

  g

  必须具有相同的大小，才能实现乘法步骤，因此需要对内核进行零填充（或者输入，如果内核比它长）
• 当进行DFT时（FFT就是这样做的），函数的频域表示结果是周期性的。这意味着，默认情况下，在进行卷积时，内核会环绕边缘。如果你想要这个，那么一切都很好。但是如果没有，您必须添加一个额外的零填充来避免内核的大小
• 大多数（全部？）FFT软件包只在没有任何大的基本因子的情况下工作良好（性能方面）。将信号和内核大小四舍五入到下一个二次方是一种常见做法，可能会导致（非常）显著的速度提升

如果您的信号和内核大小是

f_l

和

g_l

，则在时域中进行直接卷积需要

g_l*（f_l-g_l+1）

乘法和

（g_l-1）*（f_l-g_l+1）

加法

对于FFT方法，您必须至少进行3次大小为

f_l+g_l

的FFT，以及

f_l+g_l

乘法

对于大尺寸的

f

和

g

，FFT的

n*log（n）

复杂度明显优越。对于小内核，直接方法可能更快

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scipy.signal

有两种方法供您使用。并且

fftconvolve

为您透明地处理上述所有填充。

而快速卷积比直接形式卷积具有更好的“大O”复杂度；有一些缺点或警告。我对这个话题做了一些思考，因为我之前写过

更好的“大O”复杂性并不总是更好。对于小于一定尺寸的滤波器，直接形式卷积比使用FFT更快。具体大小取决于所使用的平台和实现。交叉点通常在10-40系数范围内

延迟。快速卷积本质上是一种分块算法。对于某些实时应用程序来说，在转换之前一次将数百或数千个样本排队可能是不可接受的

实现复杂性。直接形式在内存、代码空间和编写/维护人员的理论背景方面更简单

在定点DSP平台上（不是通用CPU）：定点FFT的有限字长考虑使得大型定点FFT几乎无用。在尺寸谱的另一端，这些芯片具有专门的MAC指令，这些指令是为执行直接形式FIR计算而精心设计的，增加了O（N^2）直接形式比O（NlogN）快的范围。这些因素倾向于创建一个有限的“最佳点”，其中定点FFT对于快速卷积非常有用

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请注意，只有当内核超过一定大小时，频域中的卷积才更有效。对于相对较小的内核，直接卷积更为有效。“大多数（全部？）FFT包只适用于没有任何大的素数因子的大小。”：确切地说，你所说的只是速度，计算本身没有问题（至少在numpy和scipy中）。是的，在我的回答中添加了一个注释。典型的FFT算法递归地将大小为

N=a*b

的DFT分解为大小为

b

的FFT。如果

N

是prime，则需要加快速度。在我的电脑上：

%timeit numpy.fft.fft（np.random.rand（1024））；10000个回路，最好为3个：每个回路36.2 us；%timeit numpy.fft.fft（np.rand.rand（1021））；100个循环，每个循环最好3:2.15毫秒

，一个x100的减速，这似乎表明质数大小的DFT是直接计算的，没有加速度。看起来FFTW有加速度：“质数因子小的尺寸是最好的，但FFTW使用O（N log N）算法，即使对于质数大小也是如此。”。Is也支持多处理。它可以从python与pyfftw一起使用。请注意，如果使用“重叠添加”或“重叠保存”方法（将输入信号分割为多个片段进行处理），内核不必进行零填充，以使其与信号大小相同。