Numpy 不精确矩阵逆

在numpy中计算矩阵逆（解线性系统）时，我的精确度似乎高得令人无法接受

• 这是正常的不准确程度吗
• 如何提高此计算的准确性
• 另外，是否有一种方法可以在numpy或scipy中更有效地解决此系统（

  scipy.linalg.cho_solve

  似乎很有希望，但并没有达到我的目的）

在下面的代码中，

cholM

是一个128 x 128的矩阵。矩阵数据太大，无法包含在此处，但位于pastebin:

此外，原始向量是随机选择的，

ovec

，因此对于不同的

ovec

，精度各不相同，但在大多数情况下，误差仍然高得令人无法接受

编辑使用奇异值分解求解系统产生的误差比其他方法低得多

import numpy.random as rnd
import numpy.linalg as lin
import numpy as np

cholM=np.loadtxt('cholM.txt')

dims=len(cholM)
print 'Dimensions',dims

ovec=rnd.normal(size=dims)
rvec=np.dot(cholM.T,ovec)
invCholM=lin.inv(cholM.T)

svec=np.dot(invCholM,rvec)
svec1=lin.solve(cholM.T,rvec)

def back_substitute(M,v):
    r=np.zeros(len(v))
    k=len(v)-1
    r[k]=v[k]/M[k,k]
    for k in xrange(len(v)-2,-1,-1):
        r[k]=(v[k]-np.dot(M[k,k+1:],r[k+1:]))/M[k,k]

    return r

svec2=back_substitute(cholM.T,rvec)

u,s,v=lin.svd(cholM)
svec3=np.dot(u,np.dot(np.diag(1./s),np.dot(v,rvec)))

for k in xrange(dims):
    print '%20.3f%20.3f%20.3f%20.3f'%(ovec[k]-svec[k],ovec[k]-svec1[k],ovec[k]-svec2[k],ovec[k]-svec3[k])

assert np.all( np.abs(ovec-svec)<1e-5 ) 
assert np.all( np.abs(ovec-svec1)<1e-5 )

导入numpy.random作为rnd
将numpy.linalg作为lin导入
将numpy作为np导入
cholM=np.loadtxt（'cholM.txt'）
dims=len（千分之一）
打印“尺寸”，变暗
ovec=rnd.normal（尺寸=dims）
rvec=np.dot（cholM.T，ovec）
invCholM=lin.inv（cholM.T）
svec=np.dot（invCholM，rvec）
svec1=lin.solve（cholM.T，rvec）
def背面_替代品（M，v）：
r=np.零（len（v））
k=len（v）-1
r[k]=v[k]/M[k，k]
对于x范围内的k（len（v）-2，-1，-1）：
r[k]=（v[k]-np.dot（M[k，k+1:]，r[k+1:]）/M[k，k]
返回r
svec2=背面替代物（cholM.T，rvec）
u、 s，v=lin.svd（cholM）
svec3=np.dot（u，np.dot（np.diag（1./s），np.dot（v，rvec）））
对于X范围内的k（dims）：
打印“%20.3f%20.3f%20.3f%20.3f%”（ovec[k]-svec[k]、ovec[k]-svec1[k]、ovec[k]-svec2[k]、ovec[k]-svec3[k]）
断言np.all（np.abs（ovec svec）

我们可以使用矩阵求逆来找到解向量：
...
但是，最好使用linalg.solve命令，该命令速度更快，数值更稳定

编辑-来自MATLAB的Steve Lord

为什么要反转？如果你是为了解一个系统而反转，不要--
通常，您会希望使用反斜杠

但是，对于条件编号在1e17左右的系统（条件编号
必须大于或等于1，因此我假设中的1e-17图
你的帖子是来自RCOND的互惠条件编号）你不会
在任何情况下都能得到非常准确的结果

正如@Craig J Copi和@pv所指出的，
cholM
矩阵的精度很高，约为10^16，这表明要获得更高的反演精度，可能需要更高的数值精度

条件数可由最大奇异值与最小奇异值之比确定。在本例中，该比与特征值之比不同。
通常这是矩阵病态的标志。对于您提供的下三角矩阵，最大与最小单值之比似乎是r值（条件编号）大约是10^16。这肯定是个问题。为什么条件数在这里很重要？我在取一个逆矩阵，所以通常情况下，我会担心矩阵是否接近奇异值。
cholM
矩阵是三角形的，所以对角线上非常小的值肯定会影响解，但这不会发生。你可以尝试乘以cholM和invCholM，然后减去恒等矩阵，以确定条件数是否重要。条件数衡量的是你能得到的最大误差。因此，它无疑会对原始回代的准确性给出可靠的估计。你提供的矩阵的条件数是~1e16，而不是44.6。特征值没有t通常给出条件数，正常矩阵除外（cholM显然不是）。这里似乎有一个误解。条件数不会影响数学世界中的解；它们确实会影响计算机科学世界中的解。条件数1e16绝对是个坏消息。请确保您首先使用双精度。如果没有帮助，请使用解决同一系统的不同方法em对数值误差的敏感度可能大不相同。我所看到的反替代现象也正好出现在“不要在条件不良的情况下尝试这个”阵营中。