Numpy scipy.linalg.eig是否给出了正确的左特征向量？

我有一个关于scipy.linalg.eig如何计算左右特征向量的问题。也许我误解了一切，但事情似乎不对劲

从一开始。为了得到特征值和两个特征向量，我使用了以下方法：

ev，left\u v，right\u v=scipy.linalg.eig（A，left=True）

根据，在调用函数时设置

left=True

后，我应该期望得到左特征向量作为

left_v

的列，其中第I列指第I个特征值。然而，结果不是我预期的，所以我做了一个简单的检查

我计算了两次调用函数的右特征向量和左特征向量（查看详细信息）：

其中，

left_v_2

列是与

left_ev

中的相应值相关联的特征向量。 值得强调的是，

right_ev_2

和

left_ev_2

都给出了相同的特征值，但它们的顺序不同，需要加以考虑

比较

left_ev

和

left_ev_2

（根据特征值重新排序后），可以很快发现前者是后者的共轭，因此从

scipy.linalg.eig

获得的

left_ev

不是有效的左特征向量

可以根据以下事实对特征向量的有效性进行另一次检查：对于任意实平方矩阵，左特征向量和右特征向量是双正交的，即：

left_v.T.dot（right_v）

应该给出一个对角矩阵，但它没有， 直到我将其更改为：

left_v.T.conj（）.dot（right_v）

而：

left_v_2.T.dot（right_v_2）

给出了预期的对角矩阵

以前有没有人遇到过类似的问题？我说的对吗？sciPy手册在描述eig时是否有点不精确？你能给我一些建议吗

---

非常感谢

关于

vl

，

eig

文档字符串说：

a.H vl[:,i] = w[i].conj() b.H vl[:,i]

或者，取两边的共轭转置（即厄米转置）（即.H的意思），并假设

b

是恒等式

vl[:,i].H a = w[i] vl[:,i].H

因此，

vl

的共轭转置行是

a

的实际左特征向量

Numpy数组实际上没有.H属性，因此必须使用.conj（）.t

以下是验证计算的脚本：

将numpy导入为np
从scipy.linalg导入eig
#这只会影响打印输出。
np.设置打印选项（精度=4）
a=np.array（[[6,2]，
[-1, 4]])
w、 vl，vr=eig（a，左=真）
打印“特征值：”，w
打印
#逐个检查左特征向量：
对于范围内的k（a.形状[0]）：
val=w[k]
#使用切片来保持形状；vec是一个2x1阵列。
#这允许使用.T进行有意义的转置。
vec=vl[：，k:k+1]
#rowvec为1x2；它是vec的共轭转置。
#这应该是左特征向量。
rowvec=vec.conj（）.T
#验证rowvec是否为左特征向量
lhs=行向量点（a）
rhs=val*rowvec
打印“比较”，左侧，“至”，右侧
打印rowvec，“是”，
如果不是np.ALLCOSE（左、右）：
打印“*非*”，
打印“特征值的左特征向量”，val
打印
打印“矩阵版本：”
打印“这个”
打印vl.conj（）.T.dot（a）
打印“应等于此”
打印np.diag（w）.dot（vl.conj（）.T）

输出：

eigenvalues: [ 5.+1.j  5.-1.j]

Compare [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]] to [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]]
[[ 0.4082+0.4082j  0.8165-0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5+1j)
Compare [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]] to [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
[[ 0.4082-0.4082j  0.8165+0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5-1j)

Matrix version:
This
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
should equal this
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]

现在，

eig

docstring在返回值的描述中也表示：

vl : double or complex ndarray
    The normalized left eigenvector corresponding to the eigenvalue
    ``w[i]`` is the column v[:,i]. Only returned if ``left=True``.
    Of shape ``(M, M)``.

---

这可能会产生误导，因为左特征向量（例如or）的传统定义是行向量，所以实际上是左特征向量的

vl

列的共轭转置。

谢谢，Warren。据我所知，根据常用惯例，您确认了

vl

的共轭转置是左特征向量。现在的问题是为什么

eig

doscstring提供了这种含糊不清的信息？Fwiw，

A=np.array（[[0,1]，[1,0]]）；w、 L，R=eig（A，左=真，右=真）；打印“L*.R:\n”，L.conj（）.T.dot（R）

会给出

-I

——如果您期望

I

，则会遇到麻烦。一般来说，它可能是np.diag（1-1-11）所以没有快速修复？（版本：numpy 1.14.1 scipy 1.0.0 python 2.7.14 mac 10.10.5）通常，

L.conj（）.T.dot（R）

必须是对角线，但不一定是标识。存在左特征向量和右特征向量，因此乘积就是恒等式，但是

eig

不能保证计算这样的特征向量。

vl : double or complex ndarray
    The normalized left eigenvector corresponding to the eigenvalue
    ``w[i]`` is the column v[:,i]. Only returned if ``left=True``.
    Of shape ``(M, M)``.