Optimization 优化整数数组的和（i，j）和更新（i，值）

给定一个庞大的整数数组，优化函数sum（i，j）和update（i，value），使这两个函数都小于O（n）

更新

这是一个面试问题。我试过O（n）和（I，j）和O（1）更新（I，值）。另一种解决方案是将输入数组预处理为二维数组，给出求和（i，j）的O（1）解。但这使得O（n）的更新函数

例如，给定一个数组：

A[] = {4,5,4,3,6,8,9,1,23,34,45,56,67,8,9,898,64,34,67,67,56,...}

要定义的操作是

sum（i，j）

和

update（i，value）

• sum（i，j）

  给出从索引

  i

  到

  j

  的数字总和

• update（i，value）

  使用给定的

  值更新索引
  i
  处的值

非常直接的答案是，

sum（i，j）

可以在

O（n）

时间中计算，并在

O（1）

时间中更新

（i，值）

第二种方法是预先计算

sum（i，j）

并将其存储在二维数组

sum[n][n]

中，当查询时，在

O（1）

时间内给出答案。但是更新函数

update（i，value）

变得有序

O（n）

，因为必须更新与索引

i

相对应的整行/列

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面试官暗示我要做一些预处理和使用一些数据结构，但我想不出来。

你需要的是段树。段树可以在

O（log（n））

时间中执行

sum（i，j）

和

update（i，value）

引自：

在计算机科学中，段树是用于存储区间或段的树数据结构。它允许查询哪些存储段包含给定点。原则上，它是一个静态结构；也就是说，一旦建成，其结构就无法修改

树的叶子将是初始数组元素。他们的父母将是他们孩子的总和。例如：假设

data[]={2,5,4,7,8,9,5}

，那么我们的树将如下所示：

此树结构使用数组表示。让我们调用这个数组

seg_tree

。因此seg_树[]的根将存储在数组的索引1中。它的两个子项将存储在索引2和3中。

1-indexed

表示法的总体趋势是：

• 索引

  i

  的左子级位于索引

  2*i

• 索引

  i

  的右子级位于索引

  2*i+1

• 索引

  i

  的父级位于索引

  i/2

对于

0索引的
表示：


索引
i
的左子级位于索引
2*i+1
索引
i
的右子级位于索引
2*i+2
索引
i
的父级位于索引
（i-1）/2

上图中的每个区间
[i，j]
表示区间
数据[i，j]
中所有元素的总和。根节点将表示整个数据[]的总和，即
sum（0,6）
。它的两个子项将表示
sum（0,3）
和
sum（4,6）
等等

seg_tree[]的长度，MAX_LEN，将是（如果
n=数据长度[]
）：


2*n-1
当n是2的幂时
2*（2^（log_2（n）+1）-1
当n不是2的幂时

从数据[]构建seg_树[]：
在这种情况下，我们将假设一个
0-indexed
结构。索引0将是树的根，初始数组的元素将存储在叶子中

data[0…（n-1）]
是初始数组，
seg_-tree[0…MAX_-LEN]
是数据[]的段树表示形式。更容易理解如何从伪代码构造树：

build(node, start, end) {

    // invalid interval
    if start > end:
        return

    // leaf nodes
    if start == end:
        tree[node] = data[start]
        return

    // build left and right subtrees
    build(2*node+1, start, (start + end)/2);
    build(2*node+2, 1+(start+end)/2, end);

    // initialize the parent with the sum of its children
    tree[node] = tree[2*node+1] + tree[2*node+2]
}

这里,


[开始，结束]
表示数据[]中要形成段树表示的间隔。最初，这是
（0，n-1）
节点表示seg_树[]中的当前索引

我们通过调用
build（0，0，n-1）
开始构建过程。第一个参数表示根在seg_树[]中的位置。第二个和第三个参数表示要形成段树表示的数据[]中的间隔。在每个后续调用中，节点将表示seg_树[]和（start，end）的索引将表示seg_tree[node]存储总和的时间间隔

有三种情况：


start>end
是无效的间隔，我们只需从此调用返回
如果
start==end
，则表示seg_树[]的叶子，因此，我们初始化
tree[node]=data[start]
否则，我们处于一个非叶的有效间隔中。因此，我们首先通过调用
build（node，start，（start+end）/2）
来构建此节点的左子树，然后通过调用
build（node，1+（start+end）/2，end）
来构建右子树。然后通过子节点的总和初始化seg_tree[]中的当前索引

对于总和（i，j）：
我们需要检查节点处的间隔是否与给定间隔（i，j）重叠（部分/完整），或者它们根本不重叠。以下是三种情况：


对于无重叠，我们可以简单地返回0
对于完全重叠，我们将返回存储在该节点上的值
对于部分重叠，我们将访问两个子项并递归地继续此检查

假设我们需要找到
sum（1，5）
的值。我们按照以下步骤进行：

让我们以一个空容器（Q）为例，它将存储感兴趣的间隔。最终，所有这些范围都将被它们返回的值替换。最初，Q=
{（0，6）}

我们注意到（1，5）并没有完全重叠（0，6），所以我们删除了这个范围