Optimization 投资组合优化中的基数约束

我正在使用cvxpy处理一些简单的投资组合优化问题。我唯一无法理解的约束是非零投资组合持有量的基数约束。我尝试了两种方法，MIP方法和传统的凸面方法

下面是一个正常工作的传统示例的一些伪代码

import numpy as np
import cvxpy as cvx

np.random.seed(12345)
n = 10
k = 6
mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
Sigma = np.random.randn(n, n)
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)
w = cvx.Variable(n)

ret = mu.T*w 
risk = cvx.quad_form(w, Sigma)
objective = cvx.Maximize(ret - risk)

constraints = [cvx.sum_entries(w) == 1, w>= 0, cvx.sum_smallest(w, n-k) >= 0,  cvx.sum_largest(w, k) <=1 ]

prob = cvx.Problem(objective, constraints)  
prob.solve()

print prob.status

output = []
for i in range(len(w.value)):
    output.append(round(w[i].value,2))


print 'Number of non-zero elements : ',sum(1 for i in output if i > 0)

查看我的二进制向量，它似乎做了正确的事情，但是sum_entries约束不起作用，查看二进制向量值，我注意到0不是0，它非常小，例如xxe^-20，我认为这会把事情搞砸。如果这是正确的方法，任何人都可以给我任何指导吗？我可以使用标准解算器，如果有帮助的话，也可以使用Mosek。我更喜欢非MIP实现，因为我知道这是一个组合问题，对于更大的问题，它会变得非常缓慢。最终，我想限制目标持股的确切数量或范围，例如20-30

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此外，cvxpy中关于MIP的文档非常简短。谢谢，这个问题有点混乱

首先，这种基数约束是NP难的。这意味着，如果不使用整数规划，就不能使用cvxpy来表示它（否则它将隐含P=NP）

比因说，如果有一个纯版本的代码，而不试图制定这个约束，那就更好了。我只是假设它是第一个没有

sum\u最小

和

sum\u最大

约束的代码

因此，让我们来解决MIP方法：

import numpy as np
import cvxpy as cvx

np.random.seed(12345)
n = 10
k = 6
mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
Sigma = np.random.randn(n, n)
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)
w = cvx.Variable(n)

ret = mu.T*w
risk = cvx.quad_form(w, Sigma)
objective = cvx.Maximize(ret - risk)

binary = cvx.Bool(n)  # !!!

constraints = [cvx.sum_entries(w) == 1, w>= 0, w - binary <= 0., cvx.sum_entries(binary) == k] # !!!

prob = cvx.Problem(objective, constraints)
prob.solve(verbose=True)

print(prob.status)

output = []
for i in range(len(w.value)):
    output.append(round(w[i].value,2))


print('Number of non-zero elements : ',sum(1 for i in output if i > 0))

• 您的代码尝试这样做毫无意义
  • 您引入了一些二进制变量，但它们与任何其他变量都没有连接（因此对其和的约束是无用的）
  • 您引入了一些整数变量，但它们没有任何用处

这是一种MIP方法：

import numpy as np
import cvxpy as cvx

np.random.seed(12345)
n = 10
k = 6
mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
Sigma = np.random.randn(n, n)
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)
w = cvx.Variable(n)

ret = mu.T*w
risk = cvx.quad_form(w, Sigma)
objective = cvx.Maximize(ret - risk)

binary = cvx.Bool(n)  # !!!

constraints = [cvx.sum_entries(w) == 1, w>= 0, w - binary <= 0., cvx.sum_entries(binary) == k] # !!!

prob = cvx.Problem(objective, constraints)
prob.solve(verbose=True)

print(prob.status)

output = []
for i in range(len(w.value)):
    output.append(round(w[i].value,2))


print('Number of non-zero elements : ',sum(1 for i in output if i > 0))

将numpy导入为np
将cvxpy作为cvx导入
np.random.seed（12345）
n=10
k=6
mu=np.abs（np.random.randn（n，1））
Sigma=np.random.randn（n，n）
西格玛=西格玛T点（西格玛）
w=cvx.变量（n）
ret=μT*w
风险=cvx.四元形式（w，西格玛）
目标=cvx最大化（ret-风险）
二进制=cvx.Bool（n）#！！！
约束=[cvx.sum_条目（w）==1，w>=0，w-二进制0））

所以我们只是添加了一些二进制变量，并将它们连接到

w

，以指示

w是否为非零

如果
w为非零
：


由于约束
w>=0
binary
需要为1，否则约束
w-binary我遇到了一个类似的问题，我的权重可能为负数，不需要求和为1（但仍然需要有界），因此我修改了sascha的示例，以适应使用CVXpy绝对值函数来放松这些约束。这应该允许使用MIP处理基数约束的更通用的方法

import numpy as np
import cvxpy as cvx

np.random.seed(12345)
n = 10
k = 6
mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
Sigma = np.random.randn(n, n)
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)
w = cvx.Variable(n)

ret = mu.T*w
risk = cvx.quad_form(w, Sigma)
objective = cvx.Maximize(ret - risk)

binary = cvx.Variable(n,boolean=True)  # !!!
maxabsw=2
constraints = [ w>= -maxabsw,w<=maxabsw, cvx.abs(w)/maxabsw - binary <= 0., cvx.sum(binary) == k] # !!!

prob = cvx.Problem(objective, constraints)
prob.solve(verbose=True)

print(prob.status)

output = []
for i in range(len(w.value)):
    output.append(round(w[i].value,2))


print('Number of non-zero elements : ',sum(1 for i in output if i > 0))

将numpy导入为np
将cvxpy作为cvx导入
np.random.seed（12345）
n=10
k=6
mu=np.abs（np.random.randn（n，1））
Sigma=np.random.randn（n，n）
西格玛=西格玛T点（西格玛）
w=cvx.变量（n）
ret=μT*w
风险=cvx.四元形式（w，西格玛）
目标=cvx最大化（ret-风险）
binary=cvx.Variable（n，boolean=True）#！！！
maxabsw=2
约束=[w>=-maxabsw，w这看起来不错，谢谢，你介意把范围版本放在你的工作示例中吗？我正在努力研究你如何使用你的指示器。谢谢，我会接受这个答案。我不明白限制是什么-binary@qfd不清楚的是什么？有一些解释。
w-binary就是1或1的数组0s？不是。这是一个0/1变量的向量。请记住：cvxpy api从此发生了变化！