Optimization 树上的增益最大化

考虑一个树，其中每个节点都与系统状态关联，并包含在系统上执行的一系列操作

根节点是与系统原始状态关联的空节点。通过将

n

中包含的操作序列应用于原始系统状态，可以获得与节点

n

关联的状态。 节点

n

的操作序列是通过将新操作排队到父节点的操作序列来获得的

从一个节点移动到另一个节点（即，将新动作添加到动作序列）会产生增益，该增益附加到连接两个节点的边上

一些“数学”：

• 每个系统状态

  S

  都与一个值

  U（S）

• 与状态

  S

  关联的节点

  n

  获得的增益不能大于

  U（S）

  且小于

  0

• 如果

  n

  和

  m

  是树中的节点，

  n

  是

  m

  的父节点，

  U（n）-U（m）=g（n，m）

  ，即

  n

  和

  m

  之间的边缘增益表示

  U

  从

  n

  减少到

  m

请参见图中的示例。

我的目标是在树中找到保证最高增益的路径（路径的增益是通过求路径上所有边的增益之和来计算的）：

请注意，树在开始时是未知的，因此不需要访问整个树（丢弃那些肯定不会得到最佳解决方案的路径）来找到最佳解决方案的解决方案将是最佳选择

注意：我在脱机模式下获得了一个类似问题的答案，即当图形已知时。然而，在这种情况下，树是未知的，因此像Bellman Ford这样的算法不会比brute fore方法（如建议的）更好。相反，我希望构建类似于回溯的东西，而无需构建整个树来找到最佳解决方案（分支和绑定？）

---

编辑：U（S）随着深度的增加而变得越来越小。

正如您所注意到的，分支和边界可以用来解决您的问题。只需扩展看起来最有希望的节点，直到找到完整的解决方案，同时跟踪最著名的解决方案。如果一个节点在该过程中的U（S）值低于最知名的解决方案，只需跳过它即可。当您没有更多的节点时，就完成了

下面是一个算法：

pending_nodes <- (root)
best_solution <- nothing

while pending_nodes is not empty
    Drop the node n from pending_nodes having the highest U(n) + gain(n)

    if n is a leaf
        if best_solution = nothing
            best_solution <- n
        else if gain( best_solution ) < gain( n )
            best_solution <- n
        end if
    else
        if best_solution ≠ nothing
            if U(n) + gain(n) < gain(best_solution)
                stop. best_solution is the best
            end if
        end if

        append the children of n to pending_nodes
    end if
end while

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pending_节点为什么要根据U（n）（即节点n可以达到的最高增益值）选择节点？由于U（n）随着节点深度的增加而变得越来越小，因此选择具有最高U（n）的节点将始终选择第一级的节点，然后选择叶。这将带来一个暴力解决方案（探索整棵树）。@Eleanore我将U（n）理解为从n可以达到的最佳解决方案的上界（即n以下根和叶之间路径长度的上界）。再读一遍你的问题，它应该是U（n）+增益（n），不是吗？假设n和m是树中的两个节点，n是m的父节点。然后，n和m之间的增益可以如下获得：增益＝U（n）-U（m）。因此，可以将U（n）视为从n输出的边的增益的上界。这是因为U（m）不能大于U（n），因为U（n）随着深度的增加变得越来越小。实际上，由于这种关系，最大化增益等于最小化U（n）。因此，它应该通过最大化它来对解决方案作出贡献吗？此外，由于上界U（n）对于作为m的子节点的所有节点n是相等的，因此数量增益（m）+U（n）对于作为m的子节点的所有节点都是相等的。怎么可能从中选出最好的呢？
pending_nodes <- (root)
best_solution <- nothing

while pending_nodes is not empty
    Drop the node n from pending_nodes having the highest U(n) + gain(n)

    if n is a leaf
        if best_solution = nothing
            best_solution <- n
        else if gain( best_solution ) < gain( n )
            best_solution <- n
        end if
    else
        if best_solution ≠ nothing
            if U(n) + gain(n) < gain(best_solution)
                stop. best_solution is the best
            end if
        end if

        append the children of n to pending_nodes
    end if
end while