Optimization 使用scipy.curve_拟合的参数错误

我正在拟合以下函数（变量A、D、μ和τ），x和E是固定的：

我用这个公式创建了一些示例数据，并添加了一些噪声。拟合看起来很好，卡方误差很低，但是协方差矩阵的误差是奇数；有些非常大，而另一些则较小。我做错了什么

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# Constants
E_field = 1
x = 1

def function(t, A, D, μ, τ):
  return A/np.sqrt(4*np.pi*D*t) * np.exp(-pow(x-μ*E_field*t, 2)/(4*D*t) - t/τ)

def chi(E, O):
  return np.sum(np.ma.masked_invalid(pow(O-E, 2)/E))

def fit(t, n, m, p0):
  ddof = n.size - m
  popt, pcov = curve_fit(function, t, n, p0=p0)
  fitted_n = function(t, *popt)
  reduced_χ_squared = chi(n, fitted_n) / ddof
  σ = np.sqrt(np.diag(pcov))
  return popt, σ, reduced_χ_squared

# Choose random variables to generate data
x, t = 1, np.linspace(0.01, 5, num=100)
A, D, μ, τ = 1, 0.2, 1, 1
n = function(t, A, D, μ, τ)

n_noise = n + 0.005 * np.random.normal(size=n.size)
n_noise += abs(min(n_noise)) # Shift data to lie on y = 0

p0 = [1, 0.25, 1, 1]
vars, σ, reduced_χ_squared = fit(t, n_noise, 4, p0)
fitted_A, fitted_D, fitted_μ, fitted_τ = vars
σ_A, σ_D, σ_μ, σ_τ = σ
fitted_n = function(t, *vars)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(t, n_noise)
ax.plot(t, fitted_n)
#ax.text(0.82, 0.75, "χᵣ²={:.4f}".format(reduced_χ_squared), transform = ax.transAxes)
ax.legend(["Observed n", "Expected n"])
print("Fitted parameters: A = {:.4f}, D = {:.4f}, μ = {:.4f}, τ = {:.4f}".format(*vars))
print("Fitted parameter errors: σ_A = {:.4f}, σ_D = {:.4f}, σ_μ = {:.4f}, σ_τ = {:.4f}".format(*σ))
print("Reduced χ² = {:.4f}".format(reduced_χ_squared))

运行此代码将提供以下输出

---

正如我在上面的评论中提到的，相关性在这里是一个大问题。不过，最大的问题是，您要适应的参数比需要的多

让我们转变：

A=exp（alpha）即alpha=log（A）
δ=4*D
ε=mu*E

然后我们得到：

1/sqrt（pi*delta）*exp（-（x**2+ε**2*t**2-2*x*εt）/（delta*t）-t/tau+α）
=1/sqrt（π*delta）*exp（-（x**2+ε**2*t**2-2*x*εt）/（δ*t）-delta/tau*t**2/（δ*t）+δ*alpha*t/（δ*t））
=1/sqrt（π*δ）*exp（-（x**2+ε**2*t**2-2*x*εt+δ/τ*t**2-δ*α*t）/（δ*t））
=1/sqrt（π*δ）*exp（-（x**2+（ε**2+δ/tau）*t**2-x*（2*ε+δ*α）*t）/（δ*t））

现在重命名：

（ε**2+δ/tau）->γ**2
（2*ε+δ*α）->eta

我们得到

=1/sqrt（pi*delta）*exp（-（x**2+γ**2*t**2-x*eta*t）/（delta*t））

因此，实际上只有3个参数需要拟合，如下所示：

将numpy作为np导入
将matplotlib.pyplot作为plt导入
从scipy.optimize导入曲线\u拟合
#常数
E_字段=1
x=1
def函数（t，A，D，μ，τ）：
返回A/np.sqrt（4*np.pi*D*t）*np.exp（-pow（x-μ*E_字段*t，2）/（4*D*t）-t/τ）
def alt_func（t、伽马、eta、增量）：
返回np.exp（-x**2+gamma**2*t**2-eta*t）/（delta*t））/np.sqrt（np.pi*delta*t）
#选择随机变量以生成数据
x、 t=1，np.linspace（0.01,5，num=100）
A、 D，μ，τ=1,0.2,1,1
n=函数（t，A，D，μ，τ）
n_噪声=n+0.005*np.随机.正常（尺寸=n.尺寸）
n_noise+=abs（最小值（n_noise））#将数据移动到y=0
猜测=[1.34,2,8]
palt，covalt=曲线拟合（alt\U func，t，n\U噪声）
打印（covalt）
打印（palt）
yt=alt_func（t，*palt）
yg=alt_func（t，*猜测）
yorg=函数（t，A，D，μ，τ）
图，ax=plt.子批次（）
ax.图（t，n_噪声）
ax.绘图（t，yg）
ax.绘图（t，yt，ls=“--”）
ax.绘图（t，yorg，ls=“：”）
plt.show（）

这有一个合理的协方差矩阵。通过误差传播可以很容易地得到原始参数

altzernative，它应该足以修复

A=1

，并且只适合原始函数中的三个左参数

---

关于转换和反算，必须记住，这当然是从R³到R³⁴, 所以它自然也不是独一无二的。同样，可以只固定一个值，或者尝试在参数之间均匀分布误差，或者谁知道……

我认为这些对于非参数曲线拟合没有意义。我不会注意他们。合身的质量看起来不错。@Piterberg感谢您提供的信息。你知道我将如何计算拟合参数的误差吗？我将对每个拟合使用不同的随机数进行一系列拟合（即不要为

随机

调用固定种子），并计算拟合参数的标准偏差。但是坦白地说，我不完全确定计算这些误差的目的是什么。@Piterberg我在实验室实验中使用了这一点，但只是想测试scipy.curve_拟合对这个方程是否有效。你是说噪音的种子吗？在这种情况下，我将无法用真实的数据和一些想法做到这一点。第一，拟合似乎适合于你的合成数据。只要你的真实数据和你的合成数据相似，它就可以正常工作。如果不是，那么显然没有保证。第二，是的，我的意思是使用不同的种子。是的，这只会告诉您合成数据的参数错误。如果你的真实数据是相似的，你应该从这个实验中得到一些安慰。如果没有，你就不会。但是，这些曲线拟合的计算结果并不能告诉你我所建议的实验的更多信息（事实上，我不确定它们能告诉你任何事情）！