Pandas 用奇异值分解法求解欠定稀疏矩阵 问题

我有一组等式，变量用小写变量表示，常量用大写变量表示

A = a + b  
B = c + d  
C = a + b + c + d + e  

我在一个包含两列的数据框架中获得了关于这些方程结构的信息：常量和变量

例如

然后使用NetworkX将其转换为稀疏CSC矩阵

table = nx.bipartite.biadjacency_matrix(nx.from_pandas_dataframe(df,'Constants','Variables')  
,df.Constants.unique(),df.Variables.unique(),format='csc')

当转换为密集矩阵时，表如下所示

矩阵（[[1,1,0,0,0,0]，[0,0,1,1,0]，[1,1,1,1]]，dtype=int64）

我想从这里找到哪些变量是可解的（在这个例子中，只有e是可解的），对于每个可解变量，它的值依赖于哪些常数（在这种情况下，由于e=C-B-A，它依赖于A、B和C）

试图解决问题 我首先尝试使用rref来求解可解变量。我使用了符号库sympy和函数sympy.Matrix.rref，这正是我想要的，因为任何可解变量都有自己的行，几乎所有的0和1，我可以逐行检查

然而，这种溶液并不稳定。首先，它非常慢，并且没有利用我的数据集可能非常稀疏这一事实。此外，rref在浮点运算方面做得不太好。因此，我决定转向另一种方法，该方法的动机是，建议使用svd

方便的是，scipy.sparse库中有一个svd函数，即scipy.sparse.linalg.svds。然而，鉴于我缺乏线性代数背景，我不理解在我的表上运行此函数所输出的结果，或者如何使用这些结果来获得我想要的结果

问题的进一步细节

我的问题中每个变量的系数都是1。这就是如何在前面显示的两列数据框中表示数据

在我的实际例子中，绝大多数变量都是不可解的。目标是找到少数几个可以解决的问题

我非常愿意尝试另一种方法，如果它适合这个问题的约束条件

---

这是我第一次发布问题，如果这不完全符合指导原则，我深表歉意。请留下建设性的批评，但要温柔

您正在求解的系统具有以下形式

[ 1 1 0 0 0 ] [a]   [A]
[ 0 0 1 1 0 ] [b] = [B]
[ 1 1 1 1 1 ] [c]   [C]
              [d]
              [e]

i、 五个变量的三个方程

a、b、c、d、e

。正如你问题中的答案所提到的，你可以用Numpy直接提供的功能来解决这种不确定的系统

由于

M

具有线性独立的行，因此在这种情况下，PSUDOVERSE具有

M.pinv（M）=I

的属性，其中

I

表示单位矩阵（在这种情况下为3x3）。因此，在形式上，我们可以将解决方案写成：

v = pinv(M) . b

其中，

v

是五组分溶液向量，

b

表示右侧三组分向量

[A，b，C]

。然而，该解决方案不是唯一的，因为可以从所谓的内核或矩阵

M

（即，向量

w

，其中

M.w=0

）中添加向量，并且它仍然是一个解决方案：

M.(v + w) = M.v + M.w = b + 0 = b

因此，唯一存在唯一解决方案的变量是

M

零空间中所有可能向量的对应分量为零的变量。换句话说，如果将零空间的基组合成一个矩阵（每列一个基向量），那么“可解变量”将对应于该矩阵的零行（列的任何线性组合的相应分量也将为零）

让我们将此应用于您的特定示例：

import numpy as np
from numpy.linalg import pinv

M = [
    [1, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1, 0],
    [1, 1, 1, 1, 1]
]

print(pinv(M))

[[ 5.00000000e-01 -2.01966890e-16  1.54302378e-16]
 [ 5.00000000e-01  1.48779676e-16 -2.10806254e-16]
 [-8.76351626e-17  5.00000000e-01  8.66819360e-17]
 [-2.60659800e-17  5.00000000e-01  3.43000417e-17]
 [-1.00000000e+00 -1.00000000e+00  1.00000000e+00]]

从这个伪逆中，我们看到变量

e

（最后一行）确实可以表示为

-A-B+C

。然而，它也“预测”了

a=a/2

和

b=a/2

。为了消除这些非唯一解（例如，同样有效的还有

a=a

和

b=0

），让我们计算借用SciPy函数的空空间：

这个函数已经返回组装成矩阵的零空间的基（每列一个向量），我们可以看到，在合理的精度范围内，唯一的零行实际上只是对应于变量

e

的最后一行

编辑：

对于方程组

A = a + b, B = b + c, C = a + c

相应的矩阵

M

为

[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 1 0 1 ]

这里我们看到矩阵实际上是平方的，并且是可逆的（行列式是

2

）。因此，伪逆与“正常”逆重合：

---

它对应于解决方案

a=（a-B+C）/2，…

。因为

M

是可逆的，所以它的内核/null空间是空的，这就是为什么cookbook函数只返回

[]

。为了了解这一点，让我们使用内核的定义-它由所有非零向量

x

构成，这样

M.x=0

。然而，由于存在

M^{-1}

，因此

x

被给出为

x=M^{-1}。0=0

这是一个矛盾。形式上，这意味着找到的解决方案是唯一的（或者所有变量都是“可解的”）。

要基于ewcz的答案，可以使用

numpy.linalg.svd

计算零空间和伪逆。请参阅以下链接：

---

谢谢您的详细回复！我喜欢使用nullspace，但我有两个问题。首先，您知道在nullspace体中是否可以使用稀疏svd函数吗？我试图把它隐藏起来，但我没能弄明白。食谱中的零空间函数似乎也不适用于方程A=A+b，b=b+c，c=A+c的情况。我不想成为这里的吸血鬼帮手，但我真的不明白nullspace是怎么工作的。@RushabhMehta，我的荣幸！我没有详细研究稀疏版本，但只要它提供左/右奇异向量和

A = a + b, B = b + c, C = a + c

[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 1 0 1 ]

[[ 0.5 -0.5  0.5]
 [ 0.5  0.5 -0.5]
 [-0.5  0.5  0.5]]