Performance 使两个直方图成比例的算法，最小化删除的单位

假设你有两个相同数量的柱状图。N观测值分布在箱子之间。每个箱子现在有0到N个观测值

什么算法适合于确定从两个直方图中删除的最小观察数，以使它们成比例？它们不需要绝对数相等，只需要彼此成比例。也就是说，必须有一个公因数，通过该公因数，一个直方图中的所有箱子都可以相乘，以使其与另一个直方图相等

例如，想象以下两个直方图，其中每个直方图中的项目i指的是各个直方图在bin i中的观察数

直方图1:4,7,4,9
直方图2:2,0,2,1

对于这些直方图，解决方案是从直方图1中删除bin 2中的所有7个观察值和bin 4中的另外7个观察值，这样（直方图1）*2=直方图2

但是，可以使用什么通用算法来找到两个直方图的子集，使它们之间的总观察数最大化，同时使它们成比例？您可以从两个直方图中删除观察值，也可以仅从一个直方图中删除观察值

---

谢谢

＞P>在我看来，这个问题是等价的（如果你把每个直方图看作是n维向量），为了最小化曼哈顿长度r，其中R＝X-B，A和B是你的“向量”，X是你的比例标度。p> |R |有一个最小值（不一定是整数），因此可以使用简单的二分法（或类似于牛顿法的方法）快速找到它

然后，假设您想要一个比例为整数的解决方案，测试ceil（x）和floor（x）两种情况，以找出哪种情况的曼哈顿长度最小（这是您需要删除的观察数）

证明问题不是NP难的：

考虑一个低效的“解决方案”，即从所有容器中删除所有N个观察值。现在A和B都等于“零”直方图0=（0,0,0，…）。两个柱状图相等，因此对于所有比例值s，成比例为0=s*0，因此要删除的观测数的硬最大值为N

现在假设存在一个更有效的解决方案，分配/删除2*N（即在删除一些观察值后a=N*B或B=N*a）。如果A=0和B=0，我们得到了之前的具有N次清除的解决方案（这与清除少于N次的假设相矛盾）。如果A=0和B≠ 0那么就没有s 0这样0=s*B也没有s这样的s*0=B（对于B=0和s≠ 0）。因此必须是这样的情况，A≠ 0和B≠ 0。假设a是要缩放的柱状图（因此a*s=B），a必须至少有一个非零条目a[i]，最小值为1（在移除额外观察值后），因此缩放时它将具有最小值≥. 因此，等效条目B[i]也必须至少有2*N个观测值。但观察总数最初为N，因此我们需要在B[i]中添加至少N个观察值，这与改进溶液的添加/删除量少于N的假设相矛盾。因此，没有“有效”的解决方案需要大于N的比例标度

因此，要找到一个有效的解决方案，在最坏的情况下，需要测试0-N范围内的缩放因子的“最佳拟合”解决方案

A=s*B中比例因子s的“最佳拟合”解决方案，其中A和B各需要M个料仓

增加/删除{Abs（A[i]-s*B[i]）mods+Abs（A[i]-s*B[i]）div的总和

这是一个M阶运算，因此，要测试0-N范围内的每个比例因子，将采用顺序O（M*N）的算法

---

我相当肯定（但还没有正式的证据），比例因子不能超过最填充的容器中的观察数。实际上，它通常要小得多。对于具有200个箱的两个直方图和随机选择的每个箱30-300个观察值：如果在A和B的所有箱中分别存在Na>Nb总观察值，则比例因子几乎总是在Na/Nb-4>Nb，则s=0）

“在所有箱子之间分配N个观测值”与“在箱子之间分配N个观测值”的含义不同。如果最初允许您按自己喜欢的方式分发它们，则不存在需要删除任何观察值的N。（将1个观察结果放在histo 1的单元格1中，将N-1放在histo 2的单元格1中。）好的观点-它被改写以反映问题的意图。听起来像一个NP难问题。您通常要处理的箱子大约有多少个？N有多大？另外，两个直方图之间的样本数N是否相等？在您的示例中，这两个直方图的样本数不同。@user2566092肯定不是强NP难的——在每个直方图中的项目数增加后，事情会变得容易得多（proporti）