Algorithm 计算大时间复杂度

以下算法的时间复杂度据报道为O（v+e），但我无法解释原因。感谢您的帮助

这就是问题所在：在加权（节点和边）有向无环图中，为每个顶点计算一个称为秩的属性。它是通过自下而上遍历图来计算的。对于退出节点，假定秩值等于其指定的权重。对于图中的任何其他节点，秩定义为：

“节点的主要后继节点的秩”+“节点与其主要后继节点之间的边的宽度”+“节点的权重”

其中，节点的主要后继节点是具有最高秩值的节点

这就是我猜想算法的伪代码：

     For "every vertex" in the graph
        For "every immediate successor" of the selected vertex
           [the statements ...]
        End
     End

按照正确的拓扑顺序选择节点，外部循环执行的次数正好是v次，导致O（v）时间复杂度。 内部循环（搜索后继循环）最多执行（v-1）次（我猜是在使用邻接矩阵的情况下），导致O（v）时间复杂度。

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因此，我计算总时间复杂度O（v^2），根据报告的值O（v+e），这是不正确的。

如果使用邻接列表而不是邻接矩阵，则需要O（v+e）。因为您只访问每个节点一次（因为您跟踪访问了哪些节点），并且访问了每个边缘一次（因为您不会使用另一端有已访问节点的边缘）

这里有一些伪代码-

queue<Node> q;
startNode = (starting node)
bool[numNodes] visited;
while (visited.size() < numNodes) {
    [check if visited]
    [mark as visited]
    [set rank]
    [add successors to the queue if they're not visited]
}

队列q；
startNode=（起始节点）
访问了布尔[节点]；
while（已访问.size（）

如果使用邻接列表而不是邻接矩阵，则需要O（V+E）。因为您只访问每个节点一次（因为您跟踪访问了哪些节点），并且访问了每个边缘一次（因为您不会使用另一端有已访问节点的边缘）

这里有一些伪代码-

queue<Node> q;
startNode = (starting node)
bool[numNodes] visited;
while (visited.size() < numNodes) {
    [check if visited]
    [mark as visited]
    [set rank]
    [add successors to the queue if they're not visited]
}

队列q；
startNode=（起始节点）
访问了布尔[节点]；
while（已访问.size（）

如果您有一个邻接列表，则内循环将迭代总次数O（e），因为它基本上只访问每条边一次。@NicoSchertler如果我们正在寻找每个节点的前一个节点（例如，在一个类似的问题中，通过颠倒DAG来分配列组），该怎么办？正如您所建议的，使用adj列表是提取每个节点的后续节点的直接方法。但是它在提取前导时也有用吗？或者在这种情况下，我们需要使用adj矩阵，它需要v次迭代才能找到每个节点的前导，从而导致总时间复杂度为O（v^2）？您还可以将前导存储为邻接列表。如果您有邻接列表，则内部循环迭代的总次数为O（e）次数，因为它实际上只访问每条边一次。@NicoSchertler如果我们正在寻找每个节点的直接前导节点（例如，在一个类似的问题中，通过颠倒DAG来分配秩），该怎么办？正如您所建议的，使用adj列表是提取每个节点的后续节点的直接方法。但是它也可以用于提取前导，或者在这种情况下我们需要使用adj矩阵，它需要v次迭代来找到每个节点的前导，结果是O（v^2）总时间复杂度？您还可以将前置节点存储为邻接列表。唯一的问题是，由于每个节点的排名取决于其直接后续节点的排名（最大值函数），因此在每个步骤添加到队列中的节点都是未访问的节点，其直接后续节点已被访问。因此，每个边只访问一次，因为在使用adj列表时，提取节点的后续节点是直接进行的。但是，如果在另一个问题中，排名是颠倒计算的，这会是相同的吗？因为，在每个秩设置步骤中，我们都需要提取节点的前辈。使用adj列表还是在这种情况下使用adj矩阵是可行的？唯一的问题是，由于每个节点的秩取决于其直接后继节点的秩（Max函数），因此在每一步添加到队列中的节点都是未访问的节点，其直接后继节点已被访问。因此，每个边只访问一次，因为在使用adj列表时，提取节点的后续节点是直接进行的。但是，如果在另一个问题中，排名是颠倒计算的，这会是相同的吗？因为，在每个秩设置步骤中，我们都需要提取节点的前辈。使用adj列表或在这种情况下使用adj矩阵是否可行？