Algorithm 确定线性丢番图方程非负值解存在性的算法

我正在寻找一种方法来确定方程是否有解，例如： 3n1+4n2+5n3=456，其中n1、n2、n3为正整数

或更一般的：是否有零或正整数n1、n2、n3。。。这就解决了方程k1n1+k2n2+k3n3…=m，其中k1，k2，k3。。。和m是已知的正整数

我不需要找到解决方案——只要确定是否存在解决方案

编辑：

关于该算法的实际使用：

在通信库中，我希望在处理消息之前，根据给定消息的大小确定其是否有效。 例如：我知道消息包含零个或多个3字节元素、零个或多个4字节元素以及零个或多个5字节元素。我收到一条456字节的消息，我想在进一步检查其内容之前确定其有效性。

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当然，消息的标题包含每种类型的元素数量，但是我想在通信库级别进行第一次检查，通过传递类似于

pair

的内容，看起来你在谈论一个具有整数约束的不等式系统。事实上，您正在为这个系统解决：

k1n1+k2n2+k3n3...=m
n1 >= 0
n2 >= 0
n3 >= 0

还有一个附加约束，即n1，n2，n3是整数。这是个问题。不幸的是，解决这样一个系统的一般情况是。但是，有许多算法可以为您解决此问题。

蛮力方法（伪代码）：

另见

编辑：在通信库中，这没有意义，因为它需要立即工作。在OP的应用程序中，我可能会使用某种散列，但他的方法听起来很有趣。

根据，如果{n1，n2，n3，…}的最大公因数不是m的除数，那么就没有解。本页仅显示了{n1，n2}的示例，但它扩展到了更大的系统。新问题是编写一个算法来寻找最大公因式，但从原始问题的角度来看，这是微不足道的

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你的算法的一部分会找到gcf（{n1，n2，…}），然后看看它是否是m的一个因子。如果不是，那么就不存在解决方案。这并不能完全表明存在一个解决方案，但它可以快速地向您显示不存在任何解决方案，这仍然很有用。

下面是关于2号案例的一些信息。我还没有弄清楚如何扩展它：

给定2个相对素数的整数x和y，存在正整数a和b，使得所有

c>=（x-1）（y-1）

基本上，这是因为，如果你假设

x1，用GCD除以x，y，c
如果c>（x-1）（y-1），则返回true
否则就是暴力
对于暴力：

if int(c/y) >= c*y^(-1) mod x, return true, 
else return false

这与n>3的问题有关。
您要问的是正则表达式

（xxx | xxxx | xxxxx）*

匹配xx…x，其中x出现456次

这是O（n+a^2）中的一个解，其中a是左侧数字中最小的一个（在本例中为3）

假设你的数字是6,7,15。我会把一个可以用6x+7y+15z表示的号码称为“可用”。您需要检查给定的号码是否可用

如果你能得到一些数字n，那么你肯定能得到n+6，n+12，n+18——一般来说，n+6k对于所有的k>=0。另一方面，如果你不能得到一些数字n，那么n-6肯定也不可用（如果你能得到（n-6），那么（n-6）+6=n将可用），这意味着n-12、n-18、n-6k也不可用

假设您已确定15个可用，但9个不可用。在我们的例子中，15=6*0+7*0+15*1，但无论如何都不能得到9。因此，根据我们前面的推理，15+6k适用于所有k>=0，9-6k适用于所有k>=0。如果你有一个数字，除以6得到3作为余数（3，9，15，21，…），你可以很快回答：数字=15是

对于所有可能的除6的余数（即0,1,2,3,4,5），确定可用的最小数就足够了。（我刚刚表明，其余3的数字是15）

方法：创建顶点为0,1,2,3,4,5的图形。对于给定的所有数字k（7,15-我们忽略6），添加一条从x到（x+k）mod 6的边。赋予它重量（x+k）第6部分。使用0作为初始节点。该算法找到的距离正是我们正在搜索的数字

在我们的例子（6,7,15）中，数字7产生0->1（权重1），1->2（权重1），2->3（权重1），…，5->0（权重1），数字15产生0->3（权重2），1->4（权重2），…，5->1（权重2）。从0到3的最短路径有一条边-其权重为2。所以6*2+3=15是给出3作为余数的最小数。6*1+3=9不可用（我们之前手动检查过）

与正则表达式的联系是什么？每个正则表达式都有一个等价的有限自动机，我构造了其中一个

这个问题（允许多个查询）出现在上，我翻译了解决方案。现在，如果你听到一个人说计算机科学对真正的程序员没有用处，就当面揍他一顿。
也许以下信息无关紧要，因为它不能处理一般情况，但是

如果问题是确定给定的正整数K是否可以形成为非负整数n1、n2、n3的和
3*n1+4*n2+5*n3
，那么对于K>=3，答案是“是”

Rosen的著名教科书离散数学及其应用，p。第六版第287页，证明了“每12美分或以上的邮资都可以用4美分和5美分的邮票形成”，使用归纳法

基本步骤是12美分的邮票可以用3枚4美分的邮票组成

归纳步骤考虑如果p（k）为真，则使用四分s
if int(c/y) >= c*y^(-1) mod x, return true, 
else return false