Plot Mathematica中自定义分布的最小化期望

这与6月份早些时候的一个问题有关：

我有一个定制的混合发行版，使用第二个定制发行版，按照

@Sasha

在过去一年的许多答案中所讨论的思路进行定义

定义发行版的代码如下：

nDist /: CharacteristicFunction[nDist[a_, b_, m_, s_], 
   t_] := (a b E^(I m t - (s^2 t^2)/2))/((I a + t) (-I b + t));
nDist /: PDF[nDist[a_, b_, m_, s_], x_] := (1/(2*(a + b)))*a* 
   b*(E^(a*(m + (a*s^2)/2 - x))* Erfc[(m + a*s^2 - x)/(Sqrt[2]*s)] + 
     E^(b*(-m + (b*s^2)/2 + x))* 
      Erfc[(-m + b*s^2 + x)/(Sqrt[2]*s)]); 
nDist /: CDF[nDist[a_, b_, m_, s_], 
   x_] := ((1/(2*(a + b)))*((a + b)*E^(a*x)* 
        Erfc[(m - x)/(Sqrt[2]*s)] - 
       b*E^(a*m + (a^2*s^2)/2)*Erfc[(m + a*s^2 - x)/(Sqrt[2]*s)] + 
       a*E^((-b)*m + (b^2*s^2)/2 + a*x + b*x)*
        Erfc[(-m + b*s^2 + x)/(Sqrt[2]*s)]))/ E^(a*x);         

nDist /: Quantile[nDist[a_, b_, m_, s_], p_] :=  
 Module[{x}, 
   x /. FindRoot[CDF[nDist[a, b, m, s], x] == #, {x, m}] & /@ p] /; 
  VectorQ[p, 0 < # < 1 &]
nDist /: Quantile[nDist[a_, b_, m_, s_], p_] := 
 Module[{x}, x /. FindRoot[CDF[nDist[a, b, m, s], x] == p, {x, m}]] /;
   0 < p < 1
nDist /: Quantile[nDist[a_, b_, m_, s_], p_] := -Infinity /; p == 0
nDist /: Quantile[nDist[a_, b_, m_, s_], p_] := Infinity /; p == 1
nDist /: Mean[nDist[a_, b_, m_, s_]] := 1/a - 1/b + m;
nDist /: Variance[nDist[a_, b_, m_, s_]] := 1/a^2 + 1/b^2 + s^2;
nDist /: StandardDeviation[ nDist[a_, b_, m_, s_]] := 
  Sqrt[ 1/a^2 + 1/b^2 + s^2];
nDist /: DistributionDomain[nDist[a_, b_, m_, s_]] := 
 Interval[{0, Infinity}]
nDist /: DistributionParameterQ[nDist[a_, b_, m_, s_]] := ! 
  TrueQ[Not[Element[{a, b, s, m}, Reals] && a > 0 && b > 0 && s > 0]]
nDist /: DistributionParameterAssumptions[nDist[a_, b_, m_, s_]] := 
 Element[{a, b, s, m}, Reals] && a > 0 && b > 0 && s > 0
nDist /: Random`DistributionVector[nDist[a_, b_, m_, s_], n_, prec_] :=

    RandomVariate[ExponentialDistribution[a], n, 
    WorkingPrecision -> prec] - 
   RandomVariate[ExponentialDistribution[b], n, 
    WorkingPrecision -> prec] + 
   RandomVariate[NormalDistribution[m, s], n, 
    WorkingPrecision -> prec];

(* Fitting: This uses Mean, central moments 2 and 3 and 4th cumulant \
but it often does not provide a solution *)

nDistParam[data_] := Module[{mn, vv, m3, k4, al, be, m, si},
      mn = Mean[data];
      vv = CentralMoment[data, 2];
      m3 = CentralMoment[data, 3];
      k4 = Cumulant[data, 4];
      al = 
    ConditionalExpression[
     Root[864 - 864 m3 #1^3 - 216 k4 #1^4 + 648 m3^2 #1^6 + 
        36 k4^2 #1^8 - 216 m3^3 #1^9 + (-2 k4^3 + 27 m3^4) #1^12 &, 
      2], k4 > Root[-27 m3^4 + 4 #1^3 &, 1]];
      be = ConditionalExpression[

     Root[2 Root[
           864 - 864 m3 #1^3 - 216 k4 #1^4 + 648 m3^2 #1^6 + 
             36 k4^2 #1^8 - 
             216 m3^3 #1^9 + (-2 k4^3 + 27 m3^4) #1^12 &, 
           2]^3 + (-2 + 
           m3 Root[
              864 - 864 m3 #1^3 - 216 k4 #1^4 + 648 m3^2 #1^6 + 
                36 k4^2 #1^8 - 
                216 m3^3 #1^9 + (-2 k4^3 + 27 m3^4) #1^12 &, 
              2]^3) #1^3 &, 1], k4 > Root[-27 m3^4 + 4 #1^3 &, 1]];
      m = mn - 1/al + 1/be;
      si = 
    Sqrt[Abs[-al^-2 - be^-2 + vv ]];(*Ensure positive*)
      {al, 
    be, m, si}];

nDistLL = 
  Compile[{a, b, m, s, {x, _Real, 1}}, 
   Total[Log[
     1/(2 (a + 
           b)) a b (E^(a (m + (a s^2)/2 - x)) Erfc[(m + a s^2 - 
             x)/(Sqrt[2] s)] + 
        E^(b (-m + (b s^2)/2 + x)) Erfc[(-m + b s^2 + 
             x)/(Sqrt[2] s)])]](*, CompilationTarget->"C", 
   RuntimeAttributes->{Listable}, Parallelization->True*)];

nlloglike[data_, a_?NumericQ, b_?NumericQ, m_?NumericQ, s_?NumericQ] := 
  nDistLL[a, b, m, s, data];

nFit[data_] := Module[{a, b, m, s, a0, b0, m0, s0, res},

      (* So far have not found a good way to quickly estimate a and \
b.  Starting assumption is that they both = 2,then m0 ~= 
   Mean and s0 ~= 
   StandardDeviation it seems to work better if a and b are not the \
same at start. *)

   {a0, b0, m0, s0} = nDistParam[data];(*may give Undefined values*)

     If[! (VectorQ[{a0, b0, m0, s0}, NumericQ] && 
       VectorQ[{a0, b0, s0}, # > 0 &]),
            m0 = Mean[data];
            s0 = StandardDeviation[data];
            a0 = 1;
            b0 = 2;];
   res = {a, b, m, s} /. 
     FindMaximum[
       nlloglike[data, Abs[a], Abs[b], m,  
        Abs[s]], {{a, a0}, {b, b0}, {m, m0}, {s, s0}},
               Method -> "PrincipalAxis"][[2]];
      {Abs[res[[1]]], Abs[res[[2]]], res[[3]], Abs[res[[4]]]}];

nFit[data_, {a0_, b0_, m0_, s0_}] := Module[{a, b, m, s, res},
      res = {a, b, m, s} /. 
     FindMaximum[
       nlloglike[data, Abs[a], Abs[b], m, 
        Abs[s]], {{a, a0}, {b, b0}, {m, m0}, {s, s0}},
               Method -> "PrincipalAxis"][[2]];
      {Abs[res[[1]]], Abs[res[[2]]], res[[3]], Abs[res[[4]]]}];

dDist /: PDF[dDist[a_, b_, m_, s_], x_] := 
  PDF[nDist[a, b, m, s], Log[x]]/x;
dDist /: CDF[dDist[a_, b_, m_, s_], x_] := 
  CDF[nDist[a, b, m, s], Log[x]];
dDist /: EstimatedDistribution[data_, dDist[a_, b_, m_, s_]] := 
  dDist[Sequence @@ nFit[Log[data]]];
dDist /: EstimatedDistribution[data_, 
   dDist[a_, b_, m_, 
    s_], {{a_, a0_}, {b_, b0_}, {m_, m0_}, {s_, s0_}}] := 
  dDist[Sequence @@ nFit[Log[data], {a0, b0, m0, s0}]];
dDist /: Quantile[dDist[a_, b_, m_, s_], p_] := 
 Module[{x}, x /. FindRoot[CDF[dDist[a, b, m, s], x] == p, {x, s}]] /;
   0 < p < 1
dDist /: Quantile[dDist[a_, b_, m_, s_], p_] :=  
 Module[{x}, 
   x /. FindRoot[ CDF[dDist[a, b, m, s], x] == #, {x, s}] & /@ p] /; 
  VectorQ[p, 0 < # < 1 &]
dDist /: Quantile[dDist[a_, b_, m_, s_], p_] := -Infinity /; p == 0
dDist /: Quantile[dDist[a_, b_, m_, s_], p_] := Infinity /; p == 1
dDist /: DistributionDomain[dDist[a_, b_, m_, s_]] := 
 Interval[{0, Infinity}]
dDist /: DistributionParameterQ[dDist[a_, b_, m_, s_]] := ! 
  TrueQ[Not[Element[{a, b, s, m}, Reals] && a > 0 && b > 0 && s > 0]]
dDist /: DistributionParameterAssumptions[dDist[a_, b_, m_, s_]] := 
 Element[{a, b, s, m}, Reals] && a > 0 && b > 0 && s > 0
dDist /: Random`DistributionVector[dDist[a_, b_, m_, s_], n_, prec_] :=
   Exp[RandomVariate[ExponentialDistribution[a], n, 
     WorkingPrecision -> prec] - 
       RandomVariate[ExponentialDistribution[b], n, 
     WorkingPrecision -> prec] + 
    RandomVariate[NormalDistribution[m, s], n, 
     WorkingPrecision -> prec]];

现在我定义了一个

函数

来计算平均剩余寿命（请参阅以获取解释）

这些可能会永远持续下去，也可能会遇到：

Power:：infy:无限表达式1/0。遇到的问题。>>

应用于更简单但形状相似的分布的

平均剩余寿命

函数表明，它有一个最小值：

Plot[PDF[LogNormalDistribution[1.75, 0.65], x], {x, 0, 30}, 
 PlotRange -> All]
Plot[MeanResidualLife[x, LogNormalDistribution[1.75, 0.65]], {x, 0, 
  30},
 PlotRange -> {{0, 30}, {4.5, 8}}]

还包括：

FindMinimum[MeanResidualLife[x, LogNormalDistribution[1.75, 0.65]], x]
FindMinimum[MeanResidualLife[x, 30, LogNormalDistribution[1.75, 0.65]], x]

当与

LogNormalDistribution

一起使用时，给我答案（如果先有一堆消息）

关于如何让它在上述定制发行版中工作，您有什么想法吗

我是否需要添加约束或选项

我是否需要在自定义发行版的定义中定义其他内容

也许

findminium

或

nmimimimize

只需要运行更长的时间（我已经运行了将近一个小时，但没有效果）。如果是这样的话，我需要一些方法来加速寻找函数的最小值吗？有什么建议吗

Mathematica

是否有其他方法可以做到这一点

美国东部时间2月9日下午5:50添加：

任何人都可以从Wolfram Technology Conference 2011研讨会“创建您自己的发行版”下载Oleksandr Pavlyk关于在Mathematica中创建发行版的演示文稿。下载内容包括笔记本，

“ExampleOfParametricDistribution.nb”

，它似乎列出了创建一个发行版所需的所有部分，人们可以像Mathematica附带的发行版一样使用该发行版

---

它可能提供了一些答案。

据我所知，问题是（正如你已经写的那样），

平均剩余寿命

计算时间很长，即使是一次计算。现在，

findminium

或类似函数试图找到函数的最小值。求一个最小值需要设置函数的一阶导数为零，然后求解一个解。由于函数非常复杂（可能不可微），第二种可能是进行数值最小化，这需要对函数进行多次求值。因此，它非常非常慢

我建议不用魔法也试试

首先，让我们看看您定义的

平均剩余寿命是什么<代码>下一个预期

或

预期

计算预测值。 对于预期值，我们只需要您的发行版的

PDF

。让我们将其从上面的定义中提取为简单函数：

pdf[a_, b_, m_, s_, x_] := (1/(2*(a + b)))*a*b*
    (E^(a*(m + (a*s^2)/2 - x))*Erfc[(m + a*s^2 - x)/(Sqrt[2]*s)] + 
    E^(b*(-m + (b*s^2)/2 + x))*Erfc[(-m + b*s^2 + x)/(Sqrt[2]*s)])
pdf2[a_, b_, m_, s_, x_] := pdf[a, b, m, s, Log[x]]/x;

如果我们绘制pdf2，它看起来与您的绘图完全相同

Plot[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x], {x, 0, .3}]

现在转到预期值。如果我理解正确，我们必须将

x*pdf[x]

从

-inf

集成到

+inf

，以获得正常的预期值

x*pdf[x]

看起来像

Plot[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x]*x, {x, 0, .3}, PlotRange -> All]

期望值为

NIntegrate[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x]*x, {x, 0, \[Infinity]}]
Out= 0.0596504

expVal[start_] := 
    NIntegrate[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x]*x, {x, start, \[Infinity]}]/
    NIntegrate[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x], {x, start, \[Infinity]}]

但是，因为你想要一个

start

和

+inf

之间的期望值，我们需要在这个范围内积分，因为PDF在这个较小的间隔内不再积分为1，我想我们必须将结果标准化，除以这个范围内PDF的积分。所以我对左界期望值的猜测是

NIntegrate[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x]*x, {x, 0, \[Infinity]}]
Out= 0.0596504

expVal[start_] := 
    NIntegrate[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x]*x, {x, start, \[Infinity]}]/
    NIntegrate[pdf2[3.77, 1.34, -2.65, 0.40, x], {x, start, \[Infinity]}]

对于

平均剩余寿命

从中减去

开始

，给出

MRL[start_] := expVal[start] - start

哪一个图是

Plot[MRL[start], {start, 0, 0.3}, PlotRange -> {0, All}]

看起来有道理，但我不是专家。最后我们要最小化它，即找到

start

，该函数是局部最小值。最小值似乎在0.05左右，但让我们从该猜测开始寻找更精确的值

FindMinimum[MRL[start], {start, 0.05}]

在一些错误之后（你的函数没有定义在0以下，所以我猜极小值在那个禁止区域中有点戳），我们得到

{0.0418137，{start->0.0584312}

因此，最佳值应为

start=0.0584312

，平均剩余寿命

0.0418137

---

我不知道这是否正确，但似乎有道理。

我不是数学专家，但我在其他地方也遇到过类似的问题。当域从0开始时，您似乎遇到了问题。试着从0.1开始，然后再向上，看看会发生什么。@Makketronix--谢谢你。有趣的同步性，考虑到我在三年后开始重温这一点。我不确定我能帮到你，但你可以试着去问一下。祝你好运！你试过了吗：？在SearchforExpectations+1上有很多关于它的文章——我刚刚看到了这一点，所以我需要解决它，但我认为你将问题划分为可解决的步骤的方式很有意义。此外，您的MRL函数的绘图，当然看起来很准确。非常感谢，只要我有时间研究你的答案，我会尽快回到这里。

FindMinimum[MRL[start], {start, 0.05}]