Python 公共切线函数

Python中有一个有趣的问题，我有两个函数（任意），我想找到它们之间的公共切线，以及公共切线与每个函数接触的x轴上的点。理想情况下，会有一个函数给出所有坐标（想象一组具有多个解的非常弯曲的函数）

所以，我有一些有效的方法，但非常粗糙。我所做的是将每个函数放入一个矩阵中，

M[h，0]

包含x值，

M[h，1]

是函数1y值，

M[h，2]

是函数2y值。然后我找到导数并将其放入一个新的矩阵

D[h，1]

和

D[h，2]

（span比

M[h，：]

小一个）。我的想法基本上是“绘制”x轴上的斜率和y轴上的截距，然后搜索所有这些点，寻找最接近的一对，然后给出值

这里有两个问题：

程序不知道最近的一对是否是解决方案，并且

它的速度非常慢（麻木的点^2搜索）。我意识到一些优化库可能会有所帮助，但我担心他们会磨练一个解决方案而忽略其余的

有人想到最好的方法吗？ 我的“代码”在这里：

def公共切线（T）：
x_点=600
x_开始=0.0001
x_端=0.9999
M=零（（x_点+1,5））
对于范围内的h（M.形状[0]）：
M[h，0]=x_开始+（（x_结束-x_开始）/x_点）*（h）#填充矩阵
“”“某些函数1”“”
M[h，1]=T*M[h，0]**2+56+log（M[h，0]）
“某些函数2”
M[h，2]=5*T*M[h，0]**3+T*M[h，0]**2-log（M[h，0]）
der1=ediff1d（M[：，1]）*x_点#第一个函数的导数
der2=ediff1d（M[：，2]）*x_点#第二个函数的导数
D=零（（（x_点），9））
对于范围内的h（D.形状[0]）：
D[h，0]=（M[h，0]+M[h+1,0]）/2#对于阶矩阵，找到
D[h，1]=der1[h]#此时的斜率m#1
D[h，2]=der2[h]#此时的斜率m#2
D[h，3]=（M[h，1]+M[h+1,1]）/2#这里的平均y#1
D[h，4]=（M[h，2]+M[h+1,2]）/2#这里的平均y#2
D[h，5]=D[h，3]-D[h，1]*D[h，0]#y截距1
D[h，6]=D[h，4]-D[h，2]*D[h，0]#y截距2
监控距离=5000#一些起始号码
对于范围内的h（D.形状[0]）：
对于范围内的w（D.形状[0]）：
距离=sqrt（#在“坡度截距空间”中查找距离
（D[w，6]-D[h，5]）**2+
（D[w，2]-D[h，1]）**2
)
如果距离<监视器距离：#直到找到最近的距离
监视器距离=距离
分形1=D[h，0]
分形2=D[w，0]
斜率_02=D[w，2]
斜率_01=D[h，1]
截距_01=D[h，5]
截距_02=D[w，6]
返回值（分位数1、分位数2）

---

这在材料科学中有很多应用，在相图计算中找到多个吉布斯函数之间的公共切线。如果能得到一个健壮的函数供所有人使用，那就太好了…

你可以通过曲线a的点，在每个点上画出切线并计算出它的次数交叉曲线B。如果交叉点的数量上升或下降两倍，那么你就知道你刚刚通过了一个互切线。这仍然很粗糙，但我想它会比你最初的建议快一些，因为你不需要在曲线B上有太多的采样点来计算曲线通过给定切线的次数直线。（只需计算曲线B在直线上方和下方之间切换的次数。）

（当然，如果样本太少，可能会错过双切线附近的一对交叉点，但没关系，仍然会接近双切线。一旦非常接近真双切线，您可以并且应该添加单独的估计细化算法。您可以使用类似于牛顿法的递归二分法(其他)

---

如果你更认真的话，我发现。

你可以用a将问题转化为求解两条曲线的交点，而不是解决公共切线问题。一旦你这样做，你就可以得到“公共切线区域”通过使用您发现的等式作为两个原始函数必须满足的条件。

因此，如果我正确理解这一点，您会希望找到两个函数f（x）和g（x）的df/dx-dg/dx=0的所有解决方案？不完全正确。请参见下图：（from:）我认为这不会扩展到Python，但类似于这样的东西。f'（x1）-g'（x2）+f（x1）-g（x2）=0更准确吗？这是一个有趣的想法，我将尝试一下。也感谢文章链接。

def common_tangent(T):
    x_points = 600
    x_start = 0.0001 
    x_end = 0.9999
    M = zeros(((x_points+1),5) )
    for h in range(M.shape[0]):
        M[h,0] = x_start + ((x_end-x_start)/x_points)*(h) # populate matrix
        """ Some function 1 """
        M[h,1] = T*M[h,0]**2 + 56 + log(M[h,0])
        """ Some function 2 """
        M[h,2] = 5*T*M[h,0]**3 + T*M[h,0]**2 - log(M[h,0])
    der1 = ediff1d(M[:,1])*x_points # derivative of the first function
    der2 = ediff1d(M[:,2])*x_points # derivative of the second function
    D = zeros(((x_points),9) )
    for h in range(D.shape[0]):
        D[h,0] = (M[h,0]+M[h+1,0])/2 # for the der matric, find the point between
        D[h,1] = der1[h] # slope m_1 at this point
        D[h,2] = der2[h] # slope m_2 at this point
        D[h,3] = (M[h,1]+M[h+1,1])/2# average y_1 here
        D[h,4] = (M[h,2]+M[h+1,2])/2# average y_2 here
        D[h,5] = D[h,3] - D[h,1]*D[h,0] # y-intercept 1
        D[h,6] = D[h,4] - D[h,2]*D[h,0] # y-intercept 2
    monitor_distance = 5000 # some starting number
    for h in range(D.shape[0]):
        for w in range(D.shape[0]):
            distance = sqrt( #in "slope intercept space" find distance
                (D[w,6] - D[h,5])**2 +
                (D[w,2] - D[h,1])**2
                )
            if distance < monitor_distance: # do until the closest is found
                monitor_distance = distance
                fraction1 = D[h,0]
                fraction2 = D[w,0]
                slope_02 = D[w,2]
                slope_01 = D[h,1]
                intercept_01 = D[h,5]
                intercept_02 = D[w,6]
    return (fraction1, fraction2)