Python 符号行列式的计算速度慢

我正在进行的一些研究需要象征性地采用大型矩阵的行列式；矩阵范围从18x18到318x318。矩阵项是同一变量中的数值或二次多项式，

omega

目前，我正在尝试在Symphy中使用

.det（）

方法，但速度非常慢；一个18x18矩阵已经运行了超过45分钟，在我写这篇文章的时候，它仍然在计算。我意识到行列式计算非常密集，但我能做些什么来加快计算速度吗？

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我已经在上读过这篇文章，但没有从文章中删去任何东西来说明可以做些什么来加速这个过程。我能做什么

SymPy对行列式并不幼稚（参见），但在整个计算过程中处理符号表达式似乎是一个缓慢的过程。当已知行列式是某种程度的多项式时（因为矩阵项是多项式），计算变量的几个值的数值并插值会更快

我的测试用例是一个密集的15×15矩阵，充满了变量为ω的二次多项式，具有整数系数。对于数值行列式，我仍然使用Symphy的

.det

方法，因此无论哪种方法，系数最终都是完全相同的长整数

import numpy as np
from sympy import *
import time
n = 15
omega = Symbol('omega')
A = Matrix(np.random.randint(low=0, high=20, size=(n, n)) + omega*np.random.randint(low=0, high=20, size=(n, n)) + omega**2 * np.random.randint(low=0, high=20, size=(n, n)))
start = time.time()
p1 = A.det()       # direct computation 
print('Time: ' + str(time.time() - start))

start = time.time()
xarr = range(-n, n+1)    # 2*n+1 points to get a polynomial of degree 2*n
yarr = [A.subs(omega, x).det() for x in xarr]  # numeric values
p2 = expand(interpolating_poly(len(xarr), omega, xarr, yarr))  # interpolation
print('Time: ' + str(time.time() - start))

p1和p2都是相同的多项式。运行时间（在相当慢的机器上，来自Amazon的t2.nano）：

• 74.6秒用于直接计算
• 插值时间为5.4秒

如果您的系数是浮点数，并且在处理它们时不希望得到精确的算术结果，则可以通过将矩阵作为NumPy数组进行计算，并对行列式使用NumPy方法来实现进一步的加速：

Anum = lambdify(omega, A)
yarr = [np.linalg.det(Anum(x)) for x in xarr]

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作为对其他研究这个问题的人的补充：自从几年前尝试解决这个问题以来，我学到了很多关于数值方法和一般计算的知识，并且意识到对这么大的矩阵进行符号行列式是多么不可行。最后，我把这个问题转化为特征值问题，用数值方法解决了这个问题。故事的寓意。。。解决一个问题通常有多种方法，有些方法可能比其他方法更可行。

你怎么认为这是可能的？稠密符号NxN矩阵的行列式具有

math.factorial（N）

项。例如，对于18x18矩阵，这是6402373705728000个术语。我想说，我们会在那之前就死了，除非你会在那之前很久耗尽内存；-）@蒂姆彼得斯：我认为这应该是一个答案。@TimPeters，我不确定你从哪里得到N个阶乘，但是有比标准的协因子展开更有效的算法来计算行列式。例如，使用LU分解可以大大减少计算大型矩阵行列式所需的计算开销。对于15x15矩阵，使用共因子展开计算行列式将需要约2.3万亿次乘法。使用LU因子分解只需要大约1100次乘法即可计算行列式。一定有什么东西我可以改变，让它运行得更快。所以你的矩阵似乎有特殊的结构：它不像[[a，b]，[c，d]]有符号a，b，c，d，而是更像[[x+1，x]，[x-1，x-3]]，矩阵中有一个符号。这一点很重要，因为这样的答案确实要小得多，人们可以希望优化计算。请编辑你的问题来描述符号矩阵的结构。好的，但如果这些都是欧米茄的一般函数，那么行列式中就不能有任何简化。它们是ω的线性函数，还是其他阶的多项式？系数是整数还是浮点数？