Python 矢量化（手动）正向替换

我是求解线性系统的手写代码（我知道NumPy可以用

np.linalg.solve

或类似工具为我解决这个问题）。我想写的一个函数是用于正向代换的，即求解

y

的

Ly=b

，其中

L

是单位下三角矩阵，

b

是列向量

我提出了以下解决方案

def solve_forward(L, b):
    y = b.copy()
    for r in range(1, L.shape[0]):
        y[r] -= L[r, :r] @ y[:r]
    return y 

---

我想知道做一些减法累加来消除循环是否可行，或者这看起来是否尽可能“矢量化”

方程

Ly=b

的解可以通过对矩阵

L

求逆，然后在两边左乘得到：

y=L'b

，其中

L'

是

L

的逆矩阵。可以使用例如

np.linalg.inv

来反转此矩阵

在不使用numpy的情况下对矩阵进行求逆，将是一件乏味的事情。然而，我怀疑你可能可以做得很好，因为你有一个下三角单位矩阵

下三角单位矩阵

L

，（对角线上也有

1

s）的逆矩阵可以显示为

def Linv(i,j):
    if i==j:
        return 1
    elif j==i-1:
        return -1

也许有更好的计算方法，但这里有一种方法：

import numpy as np
from scipy.linalg import circulant
L=np.tril(np.ones((4,4)))
dim=L.shape[0]
Linv=[np.concatenate([np.array([1,-1]), np.zeros(dim-2)])]
Linv=np.tril(circulant(Linv))
print(Linv)

这里有更多的信息

现在，让我们一起来：

import numpy as np
from scipy.linalg import circulant

def L_inv(l_dim):
    Linv=[np.concatenate([np.array([1,-1]), np.zeros(l_dim-2)])]
    Linv=tril(circulant(Linv))

def solve_forward(L, b):
    y = L_inv(L.shape[0]) @ b
    return y

这应该像预期的那样起作用

编辑：在这种情况下，前面的

toeplitz

不起作用。用更合适的

循环切换它

编辑2：仅应使用循环的
下三角部分