Python 非线性二进制线性反馈移位寄存器

我使用上的说明在Python中编写了Galois线性反馈移位寄存器：

def lfsr(coefficients, state):
    while 1:
        lsb = state.pop()
        state.insert(0, 0)
        if lsb:
            state = app(coefficients, state)

        yield lsb

def app(coefficients, state):
    return [ (coefficients[i]^state[i]) for i in range(len(state)) ]

L = lfsr([1,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1], [0]*15+[1])
seq = [ str(L.next()) for i in range(2**16+16) ]

这个很好用。我现在想做的是编写一个通用版本，它可以处理GF（2）以外的伽罗瓦字段，但我不理解关于它的部分。这一部分对我来说毫无意义：“反馈位（输出位）乘以（模q）每个特定抽头点恒定的q进制值。”如何将单个输出位乘以每个抽头点的值

这就是我想到的，但不是给出一个循环序列，而是输出迅速恶化为所有0：

# Multiplication table for GF(4)
mult_4 = [[0, 0, 0, 0],
          [0, 1, 2, 3],
          [0, 2, 3, 1],
          [0, 3, 1, 2]]

def lfsr(coefficients, state):
    while 1:
        lsb = state.pop()
        state.insert(0, 0)
        state = app(coefficients, state)

        yield lsb

def app(coefficients, state):
    return [ mult_4[coefficients[i]][state[i]] for i in range(len(state)) ]

L = lfsr([ 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3 ], [1]*6)
seq = [ str(L.next()) for i in range(4**6+6) ]

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你可以在math.stackoverflow.com上询问Galois字段下的乘法，但其要点是，每个“位”不是“位”，即每个位是0或1（GF_2），而是实际上是一系列符号中的一个——确切的数字取决于字段的大小

要从二进制LFSR转换为伽罗瓦LFSR，必须推广“位”和“乘法”的概念，才能在该领域有意义。字段中的乘法运算加法也将取代

app（）

函数中的异或运算

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在二进制版本中，乘法是隐式的；根据抽头是否存在，输出位乘以0或1。在常规字段中，tap本身可以有与之关联的任何字段元素，然后将其乘以输出。

我建议您熟悉的概念（尽管Wikipedia的文章技术性太强，无法做出最好的介绍）。你似乎遇到的最基本的问题是，你试图太过接近地模拟二进制移位寄存器，当你把它看作一个离散的动力系统，而不是一个电路时，你没有完全理解发生了什么

二进制移位寄存器是一种聪明的电路，它计算

X^N

除以

f（X）

后的余数，其中

f

的所有系数都在

Z/2Z

环中，该环只包含0和1。这些余数是用欧几里德算法计算的，就像计算整数的余数一样。在该模型中，LFSR的状态是小于

f

次数的多项式。LFSR的第一个状态是

1

，第二个状态是

X

。LFSR中的每个循环等于乘以

X

，然后再乘以一步长除法。移位运算是乘法，抽头是长除法。这里的核心是分工

[旁白：您可以使用任意环作为此构造的系数，但零除数作为除数多项式的前导系数的问题使事情变得复杂。因为您使用的是字段，所以我将仅讨论字段作为系数。]

如果使用的是系数环而不是位环，则需要考虑长除法的一步是什么样子。如果除数多项式

f

看起来像

a_kx^k+…

，而新状态

g

看起来像

b_kx^k+…

，那么长除法的第一步就是计算

b_k/a_k

。对于一个字段（我假设），这是一个数字

c

。因此余数是

g-cf

，这是一个次数为

k-1

的多项式。剩下的就是你的新州

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（表达式

cf

是理解维基百科文章中让你困惑的部分的关键。你可能想说服自己，你可以将一个多项式

f

除以它的前导系数

a_k

，得到另一个生成序列的多项式，该序列只是第一个序列的倍数。）

我想我理解了这一部分，但我不明白的是，例如，多项式的常数项会发生什么变化（在二进制情况下似乎总是1），或者如何设置最高有效位。你说的“它似乎不起作用”是什么意思？输出不是循环序列。所使用的多项式实际上应该给出一个最大长度的循环序列。您是否有一个引用来证明您所使用的多项式生成了一个最大循环？