python中强度函数的积分

有一个函数决定圆孔夫琅和费衍射图样的强度。。。（）

函数在距离x=[-3.8317，3.8317]中的积分必须约为83.8%（如果假设I0为100），当您将距离增加到[-13.33，13.33]时，它应该约为95%。 但是当我在python中使用integral时，答案是错误的。。我不知道我的代码出了什么问题：(

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积分的结果不能大于100（I0），因为这是I0的衍射…我不知道…可能是缩放…可能是方法！：（

问题似乎在于函数的行为接近于零。如果绘制函数，它看起来很平滑：

但是，

scipy.integrate.quad

抱怨舍入错误，这对于这条漂亮的曲线来说非常奇怪。但是，函数没有定义为0（当然，你是在除以0！），因此积分不太顺利

你可以使用一种更简单的积分方法，或者对你的函数做些什么。你也可以从两边将它积分到非常接近零的位置。但是，当你看到结果时，这些数字的积分看起来并不正确

然而，我想我对你的问题有预感。据我所记得的，你所展示的积分实际上是夫琅和费衍射的强度（功率/面积），作为距离中心的函数。如果你想在某个半径内积分总功率，你必须在二维中进行

根据简单的面积积分规则，在积分之前，你应该将你的函数乘以2πr（或者在你的例子中是x而不是r）。然后它变成：

f = lambda(r): r*(sp.j1(r)/r)**2

或

或者更好：

f = lambda(r): r * (sp.j0(r) + sp.jn(2,r))

最后一种形式是最好的，因为它没有任何奇点。它基于Jaime对原始答案的评论（请参见下面的评论！）

（注意，我省略了几个常数。）现在你可以将它从零积分到无穷大（没有负半径）：

然后，可以从其他半径进行积分，并按全强度进行规格化：

pwr = quad(f, 1e-9, 3.8317)[0] / fullpower

你得到了0.839（相当接近84%）。如果你尝试更远的半径（13.33）：

这等于0.954

需要注意的是，我们通过从1e-9开始积分而不是从0开始积分引入了一个小误差。可以通过尝试不同的起点值来估计误差的大小。积分结果在1e-9和1e-12之间变化很小，因此它们似乎是安全的。当然，您可以使用，例如，1e-30，但随后会出现在除法中，y可能是数值上的不稳定性（在这种情况下没有，但通常奇点在数值上是邪恶的）

让我们仍然做一件事：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = linspace(0.01, 20, 1000)
intg = np.array([ quad(f, 1e-9, xx)[0] for xx in x])

plt.plot(x, intg/fullpower)
plt.grid('on')
plt.show()

这就是我们得到的：

至少这看起来是对的，艾里圆盘的黑色边缘清晰可见

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问题的最后一部分是什么：I0定义了最大强度（单位可能是W/m2），而积分给出了总功率（如果强度以W/m2为单位，则总功率以W为单位）。将“最大强度”设置为100并不能保证总功率。这就是为什么计算总功率很重要的原因

对于辐射到圆形区域的总功率，实际上存在一个封闭式方程：

p（x）=P0（1-J0（x）^2-J1（x）^2）

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式中，P0为总功率。

当在x=0处计算雅可比矩阵时，它们可能是积分算法中的奇点。您可以使用“”将该点从积分中排除：

然后我得到以下结果（这是你想要的结果吗？）

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请注意，您还可以使用以下方法获得用于集成的封闭式解决方案：

F

的计算结果为：

1600*d*besselj(0, Abs(d))**2/3 + 1600*d*besselj(1, Abs(d))**2/3 - 800*besselj(1, Abs(d))**2/(3*d)

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用

besselj（0，r）

对应于

sp.j0（r）

谢谢杜德。这很好；）回答得很好，+1.Abramowitz和Stegun说

2*j1（x）/x=j0（x）+j2（x）

，所以你也可以通过使你的函数

I0*（sp.j0（x）+sp.jn（2，x））来解决所有的数值问题**2

。我相信这应该可以让你从0开始集成。我已经编辑了我的问题（添加了一个额外的部分）…你对此有什么想法吗？@Jaime，你有什么想法吗？

pwr = quad(f, 1e-9, 3.8317)[0] / fullpower

pwr = quad(f, 1e-9, 13.33)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = linspace(0.01, 20, 1000)
intg = np.array([ quad(f, 1e-9, xx)[0] for xx in x])

plt.plot(x, intg/fullpower)
plt.grid('on')
plt.show()

f = lambda x:( I0*((2*sp.j1(x)/x)**2))
I = quad(f, -dist, dist, points = [0])

331.4990321315221

import sympy as sy

sy.init_printing()  # LaTeX like pretty printing in IPython

x,d = sy.symbols("x,d", real=True)

I0=100
dist=3.8317
f = I0*((2*sy.besselj(1,x)/x)**2)  # the integrand
F = f.integrate((x, -d, d))  # symbolic integration
print(F.evalf(subs={d:dist}))  # numeric evalution

1600*d*besselj(0, Abs(d))**2/3 + 1600*d*besselj(1, Abs(d))**2/3 - 800*besselj(1, Abs(d))**2/(3*d)