Python 曲线拟合与scipy.odr-绝对西格玛的比较

目前，我希望使用scipy.odr包拟合x和y中存在错误的数据以及im，以获得结果。我只是想知道错误sx和sy的正确用法。下面是一个例子

假设im测量不同电流I的电压V。 所以我测量了1V，误差为+-0.1V，以此类推。所以如果我假设电流测量没有误差，我可以使用spipy.curve_拟合，如下所示。绝对_σ设置为真，因为我的绝对误差为+-0.1V

所以我得到：

from scipy.optimize import curve_fit
y=[1,2.5,3,4]
x=[1,2,3,4]
yerr=[0.1,0.1,0.1,0.1]

def func(x, a, b):
    return a*x+b

popt, pcov = curve_fit(func, x, y,sigma=yerr,absolute_sigma=True)

print(popt)
print(np.sqrt(np.diag(pcov)))

[0.95 0.25]
[0.04472136 0.12247449]

在第二步中，我想使用odr包，在电流和电压方面都有错误。 根据文件，应按如下方式使用：sx和sy是我的测量数据的误差。 所以，如果我对sx使用一个非常小的误差，我应该假设得到类似于曲线拟合的结果

from scipy.odr import *
x_err = [0.0000000001]*x.__len__()
y_err = yerr

def linear_func(p, x):
   m, c = p
   return m*x+c

linear_model = Model(linear_func)

data = RealData(x, y, sx=x_err, sy=y_err)

odr = ODR(data, linear_model, beta0=[0.4, 0.4])

out = odr.run()

out.pprint()

Beta: [0.94999996 0.24999994]
Beta Std Error: [0.13228754 0.36228459]

但是正如你所看到的，结果不同于上面的曲线拟合，绝对值为真

使用与曲线拟合和绝对σ=假相同的数据会导致与ODR拟合相同的结果

popt, pcov = curve_fit(func, x, y,sigma=yerr,absolute_sigma=False)

print(popt)
print(np.sqrt(np.diag(pcov)))

[0.95 0.25]
[0.13228756 0.36228442]

---

所以我猜ODR拟合并没有像曲线拟合和绝对σ=真那样考虑我的绝对误差。有没有办法做到这一点，或者我遗漏了什么？

曲线拟合（）中的选项

绝对值

给出了真正的协方差矩阵，即

np.sqrt（np.diag（pcov））

产生1-sigma标准偏差，如数值公式中定义的误差，即它可以有一个单位，像米左右。附带了一个非常有用的摘要

然而，ODR给出了从标度协方差矩阵导出的标准误差。请参见此处或下面的示例

通过ODR进行此缩放，使得减小的chi2（使用相同方式缩放的输入权重计算）产生约1。或从：

该常数是通过要求在使用标度sigma时，最佳参数popt的简化chisq等于单位来设置的

现在剩下的问题是：

sd_beta

到底意味着什么？ 这是标准误差，参见示例。， （可能存在两种程度相同的情况。见下文注释） 另请参见前面的讨论：

现在，通过使用减少的chi2缩放

pcov

，可以获得参数误差的相同输出a）

曲线拟合（…，绝对σ=假）

和b）ODR，这是一个基本的相对误差：

#计算chi2
残差=（y-func（x，*popt））
chi_arr=残差/年
chi2_red=（chi_arr**2.sum（）/（len（x）-len（popt））
打印（'red.chi2:\t\t\t\t'，chi2\u-red）
打印（'np.sqrt（np.diag（pcov）*chi2_红）：\t'，np.sqrt（np.diag（pcov）*chi2_红））

屈服：

red. chi2:                           8.75
np.sqrt(np.diag(pcov) * chi2_red):   [0.13228756 0.36228442]

但是，请注意，对于

曲线拟合（…，绝对值

和ODR，来自

曲线拟合的协方差矩阵
pcov
和来自ODR输出的
cov\u beta
仍然是相同的。在这里，来回重新缩放的缺点变得显而易见

现在的相对误差当然意味着，如果输入误差被缩放，相对误差的大小仍然保持：

#标度不确定性
yerr=np.asfarray（[0.1,0.1,0.1,0.1]）*2
popt，pcov=曲线拟合（func，x，y，sigma=yerr，绝对值sigma=False）
打印（'popt:\t\t\t'，popt）
打印（'np.sqrt（np.diag（pcov））：\t'，np.sqrt（np.diag（pcov）））

具有相同的输出：

popt:                    [0.95 0.25]
np.sqrt(np.diag(pcov)):  [0.13228756 0.36228442]

我不确定你的结论是否正确。如果您在leastsq模式下使用ODR来拟合带有正常噪声的常数，您将看到sd_β与数据的标准偏差相匹配（曲线_拟合与绝对_σ=False的情况相同）。看看这里：-sd_β实际上是参数的标准偏差。是的，在leastsq模式下的ODR将给出与
np.sqrt（diag（pcov））
（s.a.）相同的
曲线拟合（..，绝对σ=False）
。对于两个cov。矩阵按红色缩放。chi2：对于
曲线拟合（…=假/真）
pcov的输出变化，ODR给出裸cov。矩阵，并在计算
sd_β
之前进行缩放（参见odrpack_guide.pdf中VCVI第85页上的条目。但是，这是标准错误（而不是开发）（参见
out.pprint（）
的输出）。ODR文档有时也会讨论sd（参见矢量SDI）.我认为这不是一个真正的错误，而是一个不吉利的惯例混合。作为@ChristianK.评论的一个快速补充，是的，它们实际上可以反映真实的标准偏差，但前提是样本量远远大于自由度。我承认，我必须做完整的数学计算才能完全解决这个问题……也许这里有人，哈这已经基本上在这里解释了：对于小的自由度，必须根据学生的统计数据来考虑不确定性的增加。